Änderungen von Dokument Lösung Stochastik 5_2

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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42	42	</p>
43	43	//Lösung//
44	44	<br>
	45	+Der Erwartungswert berechnet sich, indem man den Auszahlungsbetrag mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Produkte anschließend addiert
	46	+{{formula}}\left(E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\dots x_n\cdot P(X=x_n)\right){{/formula}}.
	47	+<p></p>
	48	+Wir betrachten zunächst den ersten Summanden:
	49	+{{formula}} \binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2} {{/formula}}
	50	+<br>
	51	+Die Zahl {{formula}}5{{/formula}} ist der Auszahlungsbetrag von 5 Euro. Durch den Term
	52	+{{formula}} \binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2} {{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, beim Viermaligen Drehen zweimal Grün und zweimal Blau zu drehen.
	53	+<br>
	54	+Denn:
	55	+* {{formula}}\left(\frac{1}{2}\right)^2{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit für das zweimalige Drehen von Grün
	56	+* {{formula}}\left(\frac{1}{3}\right)^2{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit für das zweimalige Drehen von Blau
	57	+* Der Binomialkoeffizient {{formula}}\binom{4}{2}{{/formula}} gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, wie diese Ergebnisse auf die 4 Drehungen verteilt sein können.
	58	+<p></p>
	59	+
	60	+Zweiter Summand:
	61	+{{formula}} 20\cdot\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\right) {{/formula}}
	62	+<br>
	63	+Der Faktor {{formula}}20{{/formula}} steht für einen Auszahlungsbetrag von 20 Euro.
	64	+
	65	+Die Klammer enthält zwei Wahrscheinlichkeiten:
	66	+<br>
	67	+* {{formula}}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei allen vier Drehungen Grün gedreht wird.
	68	+* {{formula}}\left(\frac{1}{3}\right)^{4}{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei allen vier Drehungen Blau gedreht wird.
	69	+<br>
	70	+Nach der Additionsregel (2. Pfadregel) werden die zwei Wahrscheinlichkeiten addiert.
	71	+<br>
	72	+Somit wird durch den Term in der Klammer die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass viermal Grün oder viermal Blau gedreht wird.
	73	+<p></p>
	74	+Da es keinen weiteren Summanden gibt, gibt es in den anderen Fällen keine Auszahlung. Die Regeln für die Auszahlung lauten somit:
	75	+* Wird genau zweimal Grün und zweimal Blau gedreht, werden
	76	+5 Euro ausbezahlt.
	77	+* Wird viermal Grün oder viermal Blau gedreht, werden 20 Euro ausbezahlt.
	78	+* In allen anderen Fällen erhält man keine Auszahlung.
45	45	{{/detail}}