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Lösung Stochastik 5_2

Version 3.1 von Anna Kukin am 2026/01/26 13:20

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont \(1-\left(\frac{5}{6}\right)^4\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Gib einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen lässt: „Es wird mindestens einmal Rot gedreht."

Lösung
Um die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einmal Rot“ zu berechnen, ist es am einfachsten, das Gegenereignis, nämlich „kein mal Rot“, zu betrachten.

Die Wahrscheinlichkeit, nicht rot zu drehen (also grün oder blau zu drehen), beträgt \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\).
Da vier mal gedreht wird, ist also \(P(\text{kein mal Rot})=\left(\frac{5}{6}\right)^4\)

Somit:
\(P(\text{mindestens einmal Rot})=1-P(\text{kein mal Rot})=1-\left(\frac{5}{6}\right)^4\)

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont Auszahlungen erhält man gemäß den folgenden Regeln:
  • Wird genau zweimal Grün und zweimal Blau gedreht, werden 5 Euro ausbezahlt.
  • Wird viermal Grün oder viermal Blau gedreht, werden 20 Euro ausbezahlt.
  • In allen anderen Fällen erhält man keine Auszahlung.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Bei dem Glücksspiel berechnet die SMV die auf lange Sicht zu erwartende Auszahlung (in Euro) pro Spiel mit \( 5\cdot\binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+20\cdot\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\right). \)
Beschreibe in der Anwendungssituation Regeln für die Auszahlung.

Lösung
Der Erwartungswert berechnet sich, indem man den Auszahlungsbetrag mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Produkte anschließend addiert \(\left(E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\dots x_n\cdot P(X=x_n)\right)\).

Wir betrachten zunächst den ersten Summanden: \( \binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2} \)
Die Zahl \(5\) ist der Auszahlungsbetrag von 5 Euro.
Durch den Term \( \binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2} \) wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, beim Viermaligen Drehen zweimal Grün und zweimal Blau zu drehen. Denn:
  • \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\) ist die Wahrscheinlichkeit für das zweimalige Drehen von Grün
  • \(\left(\frac{1}{3}\right)^2\) ist die Wahrscheinlichkeit für das zweimalige Drehen von Blau
  • Der Binomialkoeffizient \(\binom{4}{2}\) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, wie diese Ergebnisse auf die 4 Drehungen verteilt sein können.

Zweiter Summand: \( 20\cdot\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\right) \)
Der Faktor \(20\) steht für einen Auszahlungsbetrag von 20 Euro.Die Klammer enthält zwei Wahrscheinlichkeiten:
  • \(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei allen vier Drehungen Grün gedreht wird.
  • \(\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei allen vier Drehungen Blau gedreht wird.
Nach der Additionsregel (2. Pfadregel) werden die zwei Wahrscheinlichkeiten addiert.
Somit wird durch den Term in der Klammer die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass viermal Grün oder viermal Blau gedreht wird.
Da es keinen weiteren Summanden gibt, gibt es in den anderen Fällen keine Auszahlung. Die Regeln für die Auszahlung lauten somit:
  • Wird genau zweimal Grün und zweimal Blau gedreht, werden 5 Euro ausbezahlt.
  • Wird viermal Grün oder viermal Blau gedreht, werden 20 Euro ausbezahlt.
  • In allen anderen Fällen erhält man keine Auszahlung.