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Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik 5_2

Version 3.1 von Anna Kukin am 2026/01/26 13:20
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}1-\left(\frac{5}{6}\right)^4{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 //Aufgabenstellung//
9 <br><p>
10 Gib einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen lässt: „Es wird mindestens einmal Rot gedreht."
11 </p>
12 //Lösung//
13 <br>
14 Um die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einmal Rot“ zu berechnen, ist es am einfachsten, das Gegenereignis, nämlich „kein mal Rot“, zu betrachten.
15 <p></p>
16 Die Wahrscheinlichkeit, nicht rot zu drehen (also grün oder blau zu drehen), beträgt {{formula}}1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}{{/formula}}.
17 <br>
18 Da vier mal gedreht wird, ist also {{formula}}P(\text{kein mal Rot})=\left(\frac{5}{6}\right)^4{{/formula}}
19 <p></p>
20 Somit:
21 <br>
22 {{formula}}P(\text{mindestens einmal Rot})=1-P(\text{kein mal Rot})=1-\left(\frac{5}{6}\right)^4{{/formula}}
23 {{/detail}}
24
25 === Teilaufgabe b) ===
26 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
27 Auszahlungen erhält man gemäß den folgenden Regeln:
28 * Wird genau zweimal Grün und zweimal Blau gedreht, werden
29 5 Euro ausbezahlt.
30 * Wird viermal Grün oder viermal Blau gedreht, werden 20 Euro ausbezahlt.
31 * In allen anderen Fällen erhält man keine Auszahlung.
32 {{/detail}}
33
34
35 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
36 //Aufgabenstellung//
37 <br><p>
38 Bei dem Glücksspiel berechnet die SMV die auf lange Sicht zu erwartende Auszahlung (in Euro) pro Spiel mit
39 {{formula}} 5\cdot\binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+20\cdot\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\right). {{/formula}}
40 <br>
41 Beschreibe in der Anwendungssituation Regeln für die Auszahlung.
42 </p>
43 //Lösung//
44 <br>
45 Der Erwartungswert berechnet sich, indem man den Auszahlungsbetrag mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Produkte anschließend addiert
46 {{formula}}\left(E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\dots x_n\cdot P(X=x_n)\right){{/formula}}.
47 <p></p>
48 Wir betrachten zunächst den ersten Summanden:
49 {{formula}} \binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2} {{/formula}}
50 <br>
51 Die Zahl {{formula}}5{{/formula}} ist der Auszahlungsbetrag von 5 Euro.
52 <br>
53 Durch den Term
54 {{formula}} \binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2} {{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, beim Viermaligen Drehen zweimal Grün und zweimal Blau zu drehen. Denn:
55 * {{formula}}\left(\frac{1}{2}\right)^2{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit für das zweimalige Drehen von Grün
56 * {{formula}}\left(\frac{1}{3}\right)^2{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit für das zweimalige Drehen von Blau
57 * Der Binomialkoeffizient {{formula}}\binom{4}{2}{{/formula}} gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, wie diese Ergebnisse auf die 4 Drehungen verteilt sein können.
58 <p></p>
59
60 Zweiter Summand:
61 {{formula}} 20\cdot\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\right) {{/formula}}
62 <br>
63 Der Faktor {{formula}}20{{/formula}} steht für einen Auszahlungsbetrag von 20 Euro.
64
65 Die Klammer enthält zwei Wahrscheinlichkeiten:
66 <br>
67 * {{formula}}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei allen vier Drehungen Grün gedreht wird.
68 * {{formula}}\left(\frac{1}{3}\right)^{4}{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei allen vier Drehungen Blau gedreht wird.
69
70 Nach der Additionsregel (2. Pfadregel) werden die zwei Wahrscheinlichkeiten addiert.
71 <br>
72 Somit wird durch den Term in der Klammer die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass viermal Grün oder viermal Blau gedreht wird.
73
74 <div style="height: 30px;"></div>
75
76 Da es keinen weiteren Summanden gibt, gibt es in den anderen Fällen keine Auszahlung. Die Regeln für die Auszahlung lauten somit:
77 * Wird genau zweimal Grün und zweimal Blau gedreht, werden
78 5 Euro ausbezahlt.
79 * Wird viermal Grün oder viermal Blau gedreht, werden 20 Euro ausbezahlt.
80 * In allen anderen Fällen erhält man keine Auszahlung.
81 {{/detail}}