Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -78,7 +78,7 @@
78	78	<br>
79	79	Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
80	80	<p></p>
81		-[[image:DreieckSkizze.svg||width="120" style="float: right"]]]
	81	+[[image:DreieckSkizze.svg||width="180" style="float: right"]]
82	82	Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich durch {{formula}}A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}. Um die Höhe {{formula}}h{{/formula}} des Dreieckes zu bestimmen, benötigen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}} (siehe Skizze).
83	83	<br>
84	84	Diesen berechnen wir durch
...	...	@@ -120,6 +120,29 @@
120	120	<p></p>
121	121	//Lösung//
122	122	<br>
	123	+Die Punkte {{formula}}B_1{{/formula}}, {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}}C_2{{/formula}} liegen in einer Ebene {{formula}}E{{/formula}}. Die Punkte {{formula}}D_1{{/formula}}, {{formula}}D_2{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}
	124	+liegen in einer Ebene {{formula}}F{{/formula}}. Aus der Skizze des Kirchturmes wird ersichtlich, dass die beiden Ebenen {{formula}}E{{/formula}} und {{formula}}F{{/formula}} parallel sein müssen. Das heißt, die beiden Ebenen besitzen den selben Normalenvektor.
	125	+<br>
	126	+Um also eine Ebenengleichung der Ebene {{formula}}F{{/formula}} zu bestimmen und so anschließend den Punkt {{formula}}S{{/formula}} zu bestimmen, bestimmen wir zunächst einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}:
	127	+<br>
	128	+{{formula}}
	129	+\begin{align*}
	130	+ \vec{n}_E=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|\times \Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix} \\
	131	+&=\begin{pmatrix}(-2)\cdot 2-2\cdot 0\\2\cdot (-2)-0\cdot 2\\0\cdot 0-(-2)\cdot (-2)\end{pmatrix} \\
	132	+&=\begin{pmatrix}-4\\-4\\-4\end{pmatrix}=(-4)\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
	133	+\end{align*}
	134	+{{/formula}}
	135	+<p></p>
	136	+Somit ist {{formula}}
	137	+\vec{n}_E=\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
	138	+{{/formula}}.
	139	+<br>
	140	+{{formula}}F{{/formula}} hat damit die Form {{formula}}F: \ x_1+x_2+x_3=b{{/formula}}.
	141	+<p></p>
	142	+Punktprobe mit einem der Punkte der Ebene {{formula}}F{{/formula}}, z.B. {{formula}}D_1{{/formula}}, liefert:
	143	+{{formula}}3+1+8= 12= b{{/formula}}
	144	+<br>
	145	+Da der Punkt {{formula}}S{{/formula}} auf der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse liegt, sind die {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}S{{/formula}} null. Somit ergibt sich für die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate {{formula}}x_3=12{{/formula}} und der Punkt lautet {{formula}}S(0|0|12){{/formula}}.
123	123	{{/detail}}
124	124
125	125	=== Teilaufgabe d) ===