Lösung Lineare Algebra

Version 8.1 von Anna Kukin am 2026/02/17 12:12

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont

\(\begin{align*} &A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0), \\ &A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0) \\ & C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0) \end{align*}\) Lösunga).png

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung
Zeichne das Quadrat \( A_{1}A_{2}A_{3}A_{4} \) in ein zweidimensionales \( x_{1}x_{2} \)-Koordinatensystem ein.
Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die orthogonalen Projektionen der Punkte \( C_{1} \) und \( C_{2} \) ein.

Lösung
Gegeben sind die Punkte \(A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0)\).
Da der Grundriss nach Aufgabenstellung ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 6 Metern ist, erhalten wir die fehlenden Punkte durch Verschiebung von \(A_1\) und \(A_2\) um 6 in negative x-Richtung: \(A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0)\).

Die orthogonalen Projektionen der Punkte \(C_1\) und \( C_{2} \) erhalten wir, indem wir die \(x_3\) Koordinate gleich null setzen: \(C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)\)
Lösunga).png

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont

\(\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2\)
Damit ist das Dreieck \(C_1B_1C_2\) gleichseitig.

Mittelpunkt der Strecke \(C_1C_2\): \(M(2|2|4)\)
\(\Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{6}\), damit \(A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt3\)

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Zeige, dass das Dreieck \( C_{1}B_{1}C_{2} \) gleichseitig ist. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks \( C_{1}B_{1}C_{2} \).

Lösung
Wir berechnen die Seitenlängen des Dreiecks \( C_{1}B_{1}C_{2} \): \(\begin{align*} \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-1\\4-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2} \\ \Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}3-3\\1-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2} \\ \Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=2\sqrt{2} \end{align*}\)

Somit gilt \(\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2\).
Damit ist das Dreieck \(C_1B_1C_2\) gleichseitig.

] Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich durch \(A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h\). Um die Höhe \(h\) des Dreieckes zu bestimmen, benötigen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke \(C_1C_2\) (siehe Skizze).
Diesen berechnen wir durch \(M\left(\frac{3+1}{2}\Bigl| \frac{1+3}{2} \Bigl|\frac{4+4}{2}\right)=M(2|2|4)\).
Die Höhe \(h\) ergibt sich durch \(\Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}3-2\\3-2\\2-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}\).
Damit: \(A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt3\)

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont

Die Punkte \(B_1\), \(C_1\) und \(C_2\) liegen in der Ebene \(E\). Die Punkte \(D_1\), \(D_2\) und \(S\) liegen in der Ebene \(F\). Die Ebene \(E\) und die Ebene \(F\) müssen parallel sein.
\(\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\), damit hat \(F\) die Form \(F: \ x_1+x_2+x_3=b\).
Punktprobe mit \(D_1\) ergibt \(b = 12\) und damit ergeben sich für \(S\) die Koordinaten \(S(0|0|12)\).

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung
Vier der acht Dreiecksflächen des Daches sind parallel zu den jeweils unterhalb liegenden Dreiecksflächen.
Ermittle die Koordinaten der Spitze \( S \).

Lösung

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont

Der Abstand der Kante \(D_2D_3\) von der \(x_3\)-Achse beträgt 3m. Der Abstand der Kante \(D_1D_2\) von der \(x_3\)-Achse ist kleiner, da \(D_1D_2\) die Ecke des Quadrats abschneidet. Deshalb sind die Neigungen der Strecken \(MS\) und \(NS\) bei gleicher Spitze \(S\) unterschiedlich.

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Der Mittelpunkt der Strecke \( D_{1}D_{2} \) ist \( M \). Der Mittelpunkt der Strecke \( D_{2}D_{3} \) ist \( N \).
Begründe, dass die Strecken \( MS \) und \( NS \) unterschiedliche Neigungswinkel haben.

Lösung

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont

Winkel des Sonnenlichts zur Vertikalen:
\(\cos(\varphi)=\frac{\begin{pmatrix}-3\\-2\\4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{29}}\approx0{,}743; \ \varphi\approx42{,}0^\circ\)\(\cos(\varphi)=\frac{\text{Kirchturmhöhe} \ h}{\text{gesuchter Abstand}\ a} \ \Leftrightarrow \ a=\frac{h}{\cos(\varphi)}\approx\frac{30}{\cos(42{,}0^\circ)}\approx40{,}4\)

Der Abstand der Turmspitze und ihrem Schattenpunkt beträgt ca. 40,4 Meter.

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Der Kirchplatz liegt in einer zur \( x_{1}x_{2} \)-Ebene parallelen Ebene. Die Spitze \( S \) befindet sich 30 m über dem Kirchplatz.
An einem Sommertag scheint die Sonne in der Richtung \( \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -4\end{pmatrix} \). Dadurch wirft sie einen Schatten von \( S \) auf den Kirchplatz.
Berechne, wie groß der Abstand der Spitze \( S \) von deren Schattenpunkt ist.

Lösung