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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 9.1 von Anna Kukin am 2026/02/17 13:51
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}
4 \begin{align*}
5 &A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0), \\
6 &A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0) \\
7 & C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
8 \end{align*}
9 {{/formula}}
10 [[image:Lösunga).png||width="180"]]
11 {{/detail}}
12
13
14 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
15 //Aufgabenstellung//
16 <br>
17 Zeichne das Quadrat {{formula}} A_{1}A_{2}A_{3}A_{4} {{/formula}} in ein zweidimensionales {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Koordinatensystem ein.
18 <br>
19 Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}} C_{1} {{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} ein.
20 <p></p>
21 //Lösung//
22 <br>
23 Gegeben sind die Punkte {{formula}}
24 A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0)
25 {{/formula}}.
26 <br>
27 Da der Grundriss nach Aufgabenstellung ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 6 Metern ist, erhalten wir die fehlenden Punkte durch Verschiebung von {{formula}}A_1{{/formula}} und {{formula}}A_2{{/formula}} um 6 in negative x-Richtung: {{formula}}A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0){{/formula}}.
28 <p></p>
29 Die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}} Koordinate gleich null setzen: {{formula}}
30 C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
31 {{/formula}}
32 <br>
33 [[image:Lösunga).png||width="180"]]
34 {{/detail}}
35
36 === Teilaufgabe b) ===
37 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
38 {{formula}}
39 \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2
40 {{/formula}}
41 <br>
42 Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
43 <p></p>
44 Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}}:
45 {{formula}}
46 M(2|2|4)
47 {{/formula}}
48 <br>
49 {{formula}}
50 \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{6}
51 {{/formula}}, damit
52 {{formula}}
53 A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt3
54 {{/formula}}
55 {{/detail}}
56
57
58 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
59 //Aufgabenstellung//
60 <br><p>
61 Zeige, dass das Dreieck {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}} gleichseitig ist. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}.
62 </p>
63 //Lösung//
64 <br>
65 Wir berechnen die Seitenlängen des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}:
66 {{formula}}
67 \begin{align*}
68 \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-1\\4-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2} \\
69 \Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}3-3\\1-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2} \\
70 \Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=2\sqrt{2}
71 \end{align*}
72 {{/formula}}
73 <p></p>
74 Somit gilt
75 {{formula}}
76 \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2
77 {{/formula}}.
78 <br>
79 Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
80 <p></p>
81 [[image:DreieckSkizze.svg||width="180" style="float: right"]]
82 Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich durch {{formula}}A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}. Um die Höhe {{formula}}h{{/formula}} des Dreieckes zu bestimmen, benötigen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}} (siehe Skizze).
83 <br>
84 Diesen berechnen wir durch
85 {{formula}}
86 M\left(\frac{3+1}{2}\Bigl| \frac{1+3}{2} \Bigl|\frac{4+4}{2}\right)=M(2|2|4)
87 {{/formula}}.
88 <br>
89 Die Höhe {{formula}}h{{/formula}} ergibt sich durch
90 {{formula}}
91 \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}3-2\\3-2\\2-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}
92 {{/formula}}.
93 <br>
94 Damit:
95 {{formula}}
96 A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt3
97 {{/formula}}
98 {{/detail}}
99
100 === Teilaufgabe c) ===
101 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
102 Die Punkte {{formula}}B_1{{/formula}}, {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}}C_2{{/formula}} liegen in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}. Die Punkte {{formula}}D_1{{/formula}}, {{formula}}D_2{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}
103 liegen in der Ebene {{formula}}F{{/formula}}. Die Ebene {{formula}}E{{/formula}} und die Ebene {{formula}}F{{/formula}} müssen parallel sein.
104 <br>
105 {{formula}}
106 \vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
107 {{/formula}}, damit hat {{formula}}F{{/formula}} die Form {{formula}}F: \ x_1+x_2+x_3=b{{/formula}}.
108 <br>
109 Punktprobe mit {{formula}}D_1{{/formula}} ergibt {{formula}}b = 12{{/formula}} und damit ergeben sich für {{formula}}S{{/formula}} die Koordinaten {{formula}}S(0|0|12){{/formula}}.
110
111 {{/detail}}
112
113
114 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
115 //Aufgabenstellung//
116 <br>
117 Vier der acht Dreiecksflächen des Daches sind parallel zu den jeweils unterhalb liegenden Dreiecksflächen.
118 <br>
119 Ermittle die Koordinaten der Spitze {{formula}} S {{/formula}}.
120 <p></p>
121 //Lösung//
122 <br>
123 Die Punkte {{formula}}B_1{{/formula}}, {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}}C_2{{/formula}} liegen in einer Ebene {{formula}}E{{/formula}}. Die Punkte {{formula}}D_1{{/formula}}, {{formula}}D_2{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}
124 liegen in einer Ebene {{formula}}F{{/formula}}. Aus der Skizze des Kirchturmes wird ersichtlich, dass die beiden Ebenen {{formula}}E{{/formula}} und {{formula}}F{{/formula}} parallel sein müssen. Das heißt, die beiden Ebenen besitzen den selben Normalenvektor.
125 <br>
126 Um also eine Ebenengleichung der Ebene {{formula}}F{{/formula}} zu bestimmen und so anschließend den Punkt {{formula}}S{{/formula}} zu bestimmen, bestimmen wir zunächst einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}:
127 <br>
128 {{formula}}
129 \begin{align*}
130 \vec{n}_E=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|\times \Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix} \\
131 &=\begin{pmatrix}(-2)\cdot 2-2\cdot 0\\2\cdot (-2)-0\cdot 2\\0\cdot 0-(-2)\cdot (-2)\end{pmatrix} \\
132 &=\begin{pmatrix}-4\\-4\\-4\end{pmatrix}=(-4)\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
133 \end{align*}
134 {{/formula}}
135 <p></p>
136 Somit ist {{formula}}
137 \vec{n}_E=\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
138 {{/formula}}.
139 <br>
140 {{formula}}F{{/formula}} hat damit die Form {{formula}}F: \ x_1+x_2+x_3=b{{/formula}}.
141 <p></p>
142 Punktprobe mit einem der Punkte der Ebene {{formula}}F{{/formula}}, z.B. {{formula}}D_1{{/formula}}, liefert:
143 {{formula}}3+1+8= 12= b{{/formula}}
144 <br>
145 Da der Punkt {{formula}}S{{/formula}} auf der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse liegt, sind die {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}S{{/formula}} null. Somit ergibt sich für die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate {{formula}}x_3=12{{/formula}} und der Punkt lautet {{formula}}S(0|0|12){{/formula}}.
146 {{/detail}}
147
148 === Teilaufgabe d) ===
149 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
150 Der Abstand der Kante {{formula}}D_2D_3{{/formula}} von der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse beträgt 3m. Der Abstand der Kante {{formula}}D_1D_2{{/formula}} von der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse ist kleiner, da {{formula}}D_1D_2{{/formula}} die Ecke des Quadrats abschneidet. Deshalb sind die Neigungen der Strecken {{formula}}MS{{/formula}} und {{formula}}NS{{/formula}} bei gleicher Spitze {{formula}}S{{/formula}} unterschiedlich.
151 {{/detail}}
152
153
154 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
155 //Aufgabenstellung//
156 <br><p>
157 Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{1}D_{2} {{/formula}} ist {{formula}} M {{/formula}}. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{2}D_{3} {{/formula}} ist {{formula}} N {{/formula}}.
158 <br>
159 Begründe, dass die Strecken {{formula}} MS {{/formula}} und {{formula}} NS {{/formula}} unterschiedliche Neigungswinkel haben.
160 </p>
161 //Lösung//
162 <br>
163 {{/detail}}
164
165 === Teilaufgabe e) ===
166 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
167 Winkel des Sonnenlichts zur Vertikalen:
168 <br>
169 {{formula}}
170 \cos(\varphi)=\frac{\begin{pmatrix}-3\\-2\\4\end{pmatrix}\cdot
171 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{29}}\approx0{,}743; \
172 \varphi\approx42{,}0^\circ
173 {{/formula}}
174
175 {{formula}}
176 \cos(\varphi)=\frac{\text{Kirchturmhöhe} \ h}{\text{gesuchter Abstand}\ a} \ \Leftrightarrow \
177 a=\frac{h}{\cos(\varphi)}\approx\frac{30}{\cos(42{,}0^\circ)}\approx40{,}4
178 {{/formula}}
179 <p></p>
180 Der Abstand der Turmspitze und ihrem Schattenpunkt beträgt ca. 40,4 Meter.
181 {{/detail}}
182
183
184 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
185 //Aufgabenstellung//
186 <br><p>
187 Der Kirchplatz liegt in einer zur {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene parallelen Ebene. Die Spitze {{formula}} S {{/formula}} befindet sich 30 m über dem Kirchplatz.
188 <br>
189 An einem Sommertag scheint die Sonne in der Richtung {{formula}} \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -4\end{pmatrix} {{/formula}}. Dadurch wirft sie einen Schatten von {{formula}} S {{/formula}} auf den Kirchplatz.
190 <br>
191 Berechne, wie groß der Abstand der Spitze {{formula}} S {{/formula}} von deren Schattenpunkt ist.
192 </p>
193 //Lösung//
194 <br>
195 {{/detail}}