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Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/16 18:06
Von Version 2.1
bearbeitet von Anna Kukin
am 2026/01/30 17:12
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bearbeitet von Anna Kukin
am 2026/02/01 16:18
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,7 +21,7 @@
21 21  === Teilaufgabe b) ===
22 22  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
23 23  {{formula}}S{{/formula}}: Besucher kann Snowboard fahren
24 -(%class="border" style="width:50%" %)
24 +(%class="border" style="width:30%" %)
25 25  | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}| 
26 26  |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}0{,}08{{/formula}}||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
27 27  |{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}0{,}75{{/formula}}|{{formula}}0{,}05{{/formula}}|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
... ... @@ -68,7 +68,8 @@
68 68  * {{formula}}P(A){{/formula}},
69 69  * {{formula}}P(B)=P(A\cap \overline{S}){{/formula}} und
70 70  * {{formula}}P(C)=P_A(S){{/formula}}
71 -<p></p>
71 +
72 +
72 72  Zur Übersicht erstellen wir eine Vierfeldertafel mit den Ereignissen {{formula}}S{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
73 73  <br>
74 74  Wir wissen, dass 20% der Besucher Snowboard fahren. Das heißt, wir tragen ein:
... ... @@ -99,9 +99,8 @@
99 99  |{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}0{,}75{{/formula}}|{{formula}}0{,}05{{/formula}}|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
100 100  ||{{formula}}0{,}83{{/formula}}||{{formula}}1{{/formula}}
101 101  
102 -Wir lesen ab: {{formula}}P(A)=0{,}83{{/formula}}
103 +Wir lesen ab: {{formula}}P(A)=0{,}83, \quad P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75{{/formula}}
103 103  <br>
104 -{{formula}}P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75{{/formula}}
105 105  und berechnen
106 106  {{formula}}
107 107  P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096
... ... @@ -127,7 +127,15 @@
127 127  </p>
128 128  //Lösung//
129 129  <br>
130 -{{formula}}{{/formula}}
130 +Wir bestimmen die beiden Intervallgrenzen:
131 +<br>
132 +{{formula}}\mu-\frac{\sigma}{2}=22{,}5-2{,}75=19{,}75{{/formula}} und
133 +<br> {{formula}}
134 +\mu+\frac{\sigma}{2}=22{,}5+2{,}75=25{,}25
135 +{{/formula}}
136 +<p></p>
137 +Mit dem WTR berechnen wir mit Normalcdf:
138 +{{formula}}P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383{{/formula}}
131 131  {{/detail}}
132 132  
133 133  === Teilaufgabe d)===
... ... @@ -157,7 +157,26 @@
157 157  </p>
158 158  //Lösung//
159 159  <br>
160 -{{formula}}{{/formula}}
168 +Es gilt {{formula}}
169 +P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35
170 +{{/formula}}
171 +<br>
172 +Da das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt, gilt für die rechte Seite der Verteilung:
173 +<br>
174 +{{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a) = \frac{0{,}35}{2} = 0{,}175{{/formula}}
175 +<br>
176 +Weiterhin gilt
177 +<br>
178 +{{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)= P(Y \le 22{,}5+a) - P(Y \le 22{,}5){{/formula}}
179 +<br>
180 +Somit ist
181 +<br>
182 +{{formula}}P(Y \le 22{,}5+a)=P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)+P(Y \le 22{,}5)= 0{,}175 +0{,}5 = 0{,}675 {{/formula}}
183 +<p></p>
184 +Mit dem WTR erhalten wir nun über invNormal als obere Grenze:
185 +{{formula}}x_{oben}\approx24{,}996{{/formula}}
186 +<br>
187 +Damit erhalten wir {{formula}}a=x_{oben}-22,5\approx 2{,}5{{/formula}}.
161 161  {{/detail}}
162 162  
163 163  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -180,7 +180,7 @@
180 180  <br>
181 181  {{formula}}
182 182  P(③)>P(Ⅲ) \Leftrightarrow
183 -0{,}168\cdot p+0{,}072>0{,}42-0{,}42 \Leftrightarrow p >\frac{29}{49}\approx0{,}592
210 +0{,}168\cdot p+0{,}072>0{,}42-0{,}42\cdot p \Leftrightarrow p >\frac{29}{49}\approx0{,}592
184 184  {{/formula}}
185 185  {{/detail}}
186 186  
... ... @@ -192,5 +192,38 @@
192 192  </p>
193 193  //Lösung//
194 194  <br>
195 -{{formula}}{{/formula}}
222 +Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
223 +<br>
224 +③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
225 +<br>
226 +Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.
227 +<p></p>
228 +Für das Ereignis ③ kommen zwei mögliche Wege in Frage, wenn man die Besucher betrachtet, die genau eine Liftfahrt machen:
229 +1. {{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{p}}{\to} \text{Lift Ⅱ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{0{,}4}}{\to} \text{Piste ③}{{/formula}}
230 +<br>
231 +mit der Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(\text{Weg 1}) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot p \cdot 0{,}4 = 0{,}168 \cdot p{{/formula}}
232 +1. {{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}3}}{\to} \text{Lift Ⅰ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{1-0{,}6}}{\to} \text{Piste ③}{{/formula}}
233 +<br>
234 +mit der Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(\text{Weg 2}) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot (1-0{,}6)= 0{,}072{{/formula}}
235 +
236 +Insgesamt ergibt sich damit {{formula}}P(③)=P(\text{Weg 1})+P(\text{Weg 2})
237 +=0{,}168\cdot p+0{,}072{{/formula}}
238 +
239 +<p></p>
240 +Für das Ereignis Ⅲ kommt nur ein möglicher Weg in Frage:
241 +{{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{1-p}}{\to} \text{Lift Ⅲ}{{/formula}}
242 +<br>
243 +mit {{formula}}P(Ⅲ) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot (1-p) = 0{,}42 \cdot (1-p) = 0{,}42 - 0{,}42p{{/formula}}
244 +<p></p>
245 +Da wir durch die Aufgabenstellung wissen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Besucher über Piste ③ ankommen, höher ist, ergibt sich:
246 +<br>
247 +{{formula}}
248 +\begin{align*}
249 +P(③)&>P(Ⅲ) \\
250 +\Leftrightarrow
251 +0{,}168\cdot p+0{,}072&>0{,}42-0{,}42 \cdot p && \mid -0{,}072+0{,}42p \\
252 +\Leftrightarrow 0{,}588p&>0{,}348 &&\mid :0{,}588 \\
253 +\Leftrightarrow \qquad \ p &>\frac{29}{49}\approx0{,}592
254 +\end{align*}
255 +{{/formula}}
196 196  {{/detail}}