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Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik

Version 2.1 von Anna Kukin am 2026/01/30 17:12
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}
4 8500 \cdot 0{,}2 = 1700
5 {{/formula}}
6 {{/detail}}
7
8
9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 //Aufgabenstellung//
11 <br><p>
12 Berechne, wie viele Besucher des Wintersportgebiets an einem Tag erwartungsgemäß Snowboard fahren können.
13 </p>
14 //Lösung//
15 <br>
16 Der Anteil an Besuchern, die Snowboard fahren können, beträgt 20%(0,02). Bei 8500 Besuchern ergibt sich somit
17 <br>
18 {{formula}}8500 \cdot 0{,}2 = 1700{{/formula}}
19 {{/detail}}
20
21 === Teilaufgabe b) ===
22 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
23 {{formula}}S{{/formula}}: Besucher kann Snowboard fahren
24 (%class="border" style="width:50%" %)
25 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}| 
26 |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}0{,}08{{/formula}}||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
27 |{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}0{,}75{{/formula}}|{{formula}}0{,}05{{/formula}}|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
28 ||{{formula}}0{,}83{{/formula}}||{{formula}}1{{/formula}}
29
30 {{formula}}
31 P_S(A)=0{,}4=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}
32 {{/formula}}, damit:
33 {{formula}}
34 P(S\cap A)=0{,}4\cdot0{,}2=0{,}08
35 {{/formula}}
36 <br>
37 {{formula}}
38 P(A)=0{,}83
39 {{/formula}}
40 und {{formula}}
41 P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75
42 {{/formula}}
43 <br>
44 {{formula}}
45 P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096
46 {{/formula}}
47 {{/detail}}
48
49
50 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
51 //Aufgabenstellung//
52 <br><p>
53 Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
54 <br>
55 {{formula}}A{{/formula}}: Ein Besucher kann Ski fahren.
56 <br>
57 {{formula}}B{{/formula}}: Ein Besucher kann Ski, aber kein Snowboard fahren.
58 <br>
59 {{formula}}C{{/formula}}: Ein Besucher, der Ski fahren kann, kann auch Snowboard fahren.
60 </p>
61 //Lösung//
62 <br>
63 Wir definieren folgendes Ereignis:
64 <br>
65 {{formula}}S{{/formula}}: Besucher kann Snowboard fahren
66 <br>
67 Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten
68 * {{formula}}P(A){{/formula}},
69 * {{formula}}P(B)=P(A\cap \overline{S}){{/formula}} und
70 * {{formula}}P(C)=P_A(S){{/formula}}
71 <p></p>
72 Zur Übersicht erstellen wir eine Vierfeldertafel mit den Ereignissen {{formula}}S{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
73 <br>
74 Wir wissen, dass 20% der Besucher Snowboard fahren. Das heißt, wir tragen ein:
75 <br>
76 (%class="border" style="width:30%" %)
77 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}| 
78 |{{formula}}S{{/formula}}|||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
79 |{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|||
80 ||||{{formula}}1{{/formula}}
81
82 Weiterhin wissen wir, dass 40% der Besucher, die Snowboard fahren können, auch Ski fahren.
83 <br>
84 Somit ist {{formula}}P_S(A)=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}=0{,}4{{/formula}}. Umstellen liefert:
85 {{formula}}P(S\cap A)=P_S(A)\cdot P(S)=0{,}4\cdot 0{,}2=0{,}08{{/formula}}.
86 <br>
87 Zudem können 5% aller Besucher weder Ski noch Snowboard fahren, das heißt {{formula}}P(\overline{S}\cap\overline{A})=0{,}05{{/formula}}.
88 Somit:
89 (%class="border" style="width:30%" %)
90 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}| 
91 |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}0{,}08{{/formula}}||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
92 |{{formula}}\overline{S}{{/formula}}||{{formula}}0{,}05{{/formula}}|
93 ||||{{formula}}1{{/formula}}
94
95 Durch Berechnen der Zeilen- und Spaltensummen erhalten wir schließlich:
96 (%class="border" style="width:30%" %)
97 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}| 
98 |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}0{,}08{{/formula}}||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
99 |{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}0{,}75{{/formula}}|{{formula}}0{,}05{{/formula}}|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
100 ||{{formula}}0{,}83{{/formula}}||{{formula}}1{{/formula}}
101
102 Wir lesen ab: {{formula}}P(A)=0{,}83{{/formula}}
103 <br>
104 {{formula}}P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75{{/formula}}
105 und berechnen
106 {{formula}}
107 P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096
108 {{/formula}}
109 {{/detail}}
110
111 === Teilaufgabe c) ===
112 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}{{formula}}
113 \mu-\frac{\sigma}{2}=19{,}75{{/formula}} und {{formula}}
114 \mu+\frac{\sigma}{2}=25{,}25
115 {{/formula}}
116 <br>
117 {{formula}}
118 P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383
119 {{/formula}}
120 {{/detail}}
121
122
123 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
124 //Aufgabenstellung//
125 <br><p>
126 Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die von einem Skifahrer an einem Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer um nicht mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
127 </p>
128 //Lösung//
129 <br>
130 {{formula}}{{/formula}}
131 {{/detail}}
132
133 === Teilaufgabe d)===
134 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
135 {{formula}}
136 P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35
137 {{/formula}}
138 <br>
139 Aus Symmetriegründen gilt:
140 {{formula}}
141 P(22{,}5\le Y\le22{,}5+a)=0{,}175
142 {{/formula}}
143 <br>
144 Mit dem WTR ergibt sich
145 {{formula}}
146 a\approx2{,}5
147 {{/formula}}
148 {{/detail}}
149
150
151 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
152 //Aufgabenstellung//
153 <br><p>
154 Für ein {{formula}} a>0 {{/formula}} liegen bei 35% aller Skifahrer die pro Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer im Intervall {{formula}} [22{,}5-a; \ 22{,}5+a] {{/formula}}.
155 <br>
156 Ermittle den Wert von {{formula}} a {{/formula}} auf eine Nachkommastelle genau.
157 </p>
158 //Lösung//
159 <br>
160 {{formula}}{{/formula}}
161 {{/detail}}
162
163 === Teilaufgabe e) ===
164 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
165 Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
166 <br>
167 ③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
168 <br>
169 Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.
170
171 <p></p>
172 {{formula}}
173 P(③)=0{,}6\cdot0{,}7\cdot0{,}4\cdot p+0{,}6\cdot0{,}3\cdot0{,}4
174 =0{,}168\cdot p+0{,}072
175 {{/formula}}
176 <br>
177 {{formula}}
178 P(Ⅲ)=0{,}6\cdot0{,}7\cdot(1-p)=0{,}42-0{,}42\cdot p
179 {{/formula}}
180 <br>
181 {{formula}}
182 P(③)>P(Ⅲ) \Leftrightarrow
183 0{,}168\cdot p+0{,}072>0{,}42-0{,}42 \Leftrightarrow p >\frac{29}{49}\approx0{,}592
184 {{/formula}}
185 {{/detail}}
186
187
188 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
189 //Aufgabenstellung//
190 <br><p>
191 Berechne, welchen Wert {{formula}} p {{/formula}} mindestens hat.
192 </p>
193 //Lösung//
194 <br>
195 {{formula}}{{/formula}}
196 {{/detail}}