Lösung Stochastik

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die von einem Skifahrer an einem Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer um nicht mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.

127

128

//Lösung//

129

130

Wir bestimmen die beiden Intervallgrenzen:

131

132

{{formula}}\mu-\frac{\sigma}{2}=22{,}5-2{,}75=19{,}75{{/formula}} und

133

{{formula}}

134

\mu+\frac{\sigma}{2}=22{,}5+2{,}75=25{,}25

135

136

137

Mit dem WTR berechnen wir mit Normal CD:

138

{{formula}}P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383{{/formula}}

139

140

141

=== Teilaufgabe d)===

142

143

144

P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35

145

146

147

Aus Symmetriegründen gilt:

148

149

P(22{,}5\le Y\le22{,}5+a)=0{,}175

150

151

152

Mit dem WTR ergibt sich

a\approx2{,}5

//Aufgabenstellung//

Für ein {{formula}} a>0 {{/formula}} liegen bei 35% aller Skifahrer die pro Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer im Intervall {{formula}} [22{,}5-a; \ 22{,}5+a] {{/formula}}.

163

164

Ermittle den Wert von {{formula}} a {{/formula}} auf eine Nachkommastelle genau.

//Lösung//

Es gilt {{formula}}

P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35

170

171

172

Da das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt, gilt für die rechte Seite der Verteilung:

173

174

{{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a) = \frac{0{,}35}{2} = 0{,}175{{/formula}}

Weiterhin gilt

{{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)= P(Y \le 22{,}5+a) - P(Y \le 22{,}5){{/formula}}

Somit ist

{{formula}}P(Y \le 22{,}5+a)=P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)+P(Y \le 22{,}5)= 0{,}175 +0{,}5 = 0{,}675 {{/formula}}

183

184

Mit dem WTR erhalten wir nun über die Inverse Normalverteilung als obere Grenze:

185

{{formula}}x_{oben}\approx24{,}996{{/formula}}

186

187

Damit erhalten wir {{formula}}a=x_{oben}-22,5\approx 2{,}5{{/formula}}.

188

189

190

=== Teilaufgabe e) ===

191

192

Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:

193

194

③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an

195

196

Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.

P(③)=0{,}6\cdot0{,}7\cdot0{,}4\cdot p+0{,}6\cdot0{,}3\cdot0{,}4

201

=0{,}168\cdot p+0{,}072

P(Ⅲ)=0{,}6\cdot0{,}7\cdot(1-p)=0{,}42-0{,}42\cdot p

P(③)>P(Ⅲ) \Leftrightarrow

210

0{,}168\cdot p+0{,}072>0{,}42-0{,}42\cdot p \Leftrightarrow p >\frac{29}{49}\approx0{,}592

//Aufgabenstellung//

Berechne, welchen Wert {{formula}} p {{/formula}} mindestens hat.

//Lösung//

Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:

223

224

③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an

225

226

Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.

227

228

Für das Ereignis ③ kommen zwei mögliche Wege in Frage, wenn man die Besucher betrachtet, die genau eine Liftfahrt machen:

229

1. Weg 1: {{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{p}}{\to} \text{Lift Ⅱ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{0{,}4}}{\to} \text{Piste ③}{{/formula}}

230

231

mit der Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(\text{Weg 1}) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot p \cdot 0{,}4 = 0{,}168 \cdot p{{/formula}}

232

1. Weg 2: {{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}3}}{\to} \text{Lift Ⅰ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{1-0{,}6}}{\to} \text{Piste ③}{{/formula}}

233

234

mit der Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(\text{Weg 2}) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot (1-0{,}6)= 0{,}072{{/formula}}

235

236

Insgesamt ergibt sich damit {{formula}}P(③)=P(\text{Weg 1})+P(\text{Weg 2})

237

=0{,}168\cdot p+0{,}072{{/formula}}

238

239

240

Für das Ereignis Ⅲ kommt nur ein möglicher Weg in Frage:

241

{{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{1-p}}{\to} \text{Lift Ⅲ}{{/formula}}

242

243

mit {{formula}}P(Ⅲ) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot (1-p) = 0{,}42 \cdot (1-p) = 0{,}42 - 0{,}42p{{/formula}}

244

245

Da wir durch die Aufgabenstellung wissen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Besucher über Piste ③ ankommen, höher ist, ergibt sich:

\begin{align*}

P(③)&>P(Ⅲ) \\

\Leftrightarrow

0{,}168\cdot p+0{,}072&>0{,}42-0{,}42 \cdot p && \mid -0{,}072+0{,}42p \\

252

\Leftrightarrow 0{,}588p&>0{,}348 &&\mid :0{,}588 \\

253

\Leftrightarrow \qquad \ p &>\frac{29}{49}\approx0{,}592

254

\end{align*}

255

256

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author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		3	{{formula}}
		4	8500 \cdot 0{,}2 = 1700
		5	{{/formula}}
		6	{{/detail}}
		7
		8
		9	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		10	//Aufgabenstellung//
		11	<br><p>
		12	Berechne, wie viele Besucher des Wintersportgebiets an einem Tag erwartungsgemäß Snowboard fahren können.
		13	</p>
		14	//Lösung//
		15	<br>
		16	Der Anteil an Besuchern, die Snowboard fahren können, beträgt 20%(0,02). Bei 8500 Besuchern ergibt sich somit
		17	<br>
		18	{{formula}}8500 \cdot 0{,}2 = 1700{{/formula}}
		19	{{/detail}}
		20
		21	=== Teilaufgabe b) ===
		22	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		23	{{formula}}S{{/formula}}: Besucher kann Snowboard fahren
		24	(%class="border" style="width:30%" %)
		25	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|
		26	\|{{formula}}S{{/formula}}\|{{formula}}0{,}08{{/formula}}\|\|{{formula}}0{,}2{{/formula}}
		27	\|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}\|{{formula}}0{,}75{{/formula}}\|{{formula}}0{,}05{{/formula}}\|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
		28	\|\|{{formula}}0{,}83{{/formula}}\|\|{{formula}}1{{/formula}}
		29
		30	{{formula}}
		31	P_S(A)=0{,}4=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}
		32	{{/formula}}, damit:
		33	{{formula}}
		34	P(S\cap A)=0{,}4\cdot0{,}2=0{,}08
		35	{{/formula}}
		36	<br>
		37	{{formula}}
		38	P(A)=0{,}83
		39	{{/formula}}
		40	und {{formula}}
		41	P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75
		42	{{/formula}}
		43	<br>
		44	{{formula}}
		45	P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096
		46	{{/formula}}
		47	{{/detail}}
		48
		49
		50	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		51	//Aufgabenstellung//
		52	<br><p>
		53	Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
		54	<br>
		55	{{formula}}A{{/formula}}: Ein Besucher kann Ski fahren.
		56	<br>
		57	{{formula}}B{{/formula}}: Ein Besucher kann Ski, aber kein Snowboard fahren.
		58	<br>
		59	{{formula}}C{{/formula}}: Ein Besucher, der Ski fahren kann, kann auch Snowboard fahren.
		60	</p>
		61	//Lösung//
		62	<br>
		63	Wir definieren folgendes Ereignis:
		64	<br>
		65	{{formula}}S{{/formula}}: Besucher kann Snowboard fahren
		66	<br>
		67	Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten
		68	* {{formula}}P(A){{/formula}},
		69	* {{formula}}P(B)=P(A\cap \overline{S}){{/formula}} und
		70	* {{formula}}P(C)=P_A(S){{/formula}}
		71
		72
		73	Zur Übersicht erstellen wir eine Vierfeldertafel mit den Ereignissen {{formula}}S{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
		74	<br>
		75	Wir wissen, dass 20% der Besucher Snowboard fahren. Das heißt, wir tragen ein:
		76	<br>
		77	(%class="border" style="width:30%" %)
		78	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|
		79	\|{{formula}}S{{/formula}}\|\|\|{{formula}}0{,}2{{/formula}}
		80	\|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}\|\|\|
		81	\|\|\|\|{{formula}}1{{/formula}}
		82
		83	Weiterhin wissen wir, dass 40% der Besucher, die Snowboard fahren können, auch Ski fahren.
		84	<br>
		85	Somit ist {{formula}}P_S(A)=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}=0{,}4{{/formula}}. Umstellen liefert:
		86	{{formula}}P(S\cap A)=P_S(A)\cdot P(S)=0{,}4\cdot 0{,}2=0{,}08{{/formula}}.
		87	<br>
		88	Zudem können 5% aller Besucher weder Ski noch Snowboard fahren, das heißt {{formula}}P(\overline{S}\cap\overline{A})=0{,}05{{/formula}}.
		89	Somit:
		90	(%class="border" style="width:30%" %)
		91	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|
		92	\|{{formula}}S{{/formula}}\|{{formula}}0{,}08{{/formula}}\|\|{{formula}}0{,}2{{/formula}}
		93	\|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}\|\|{{formula}}0{,}05{{/formula}}\|
		94	\|\|\|\|{{formula}}1{{/formula}}
		95
		96	Durch Berechnen der Zeilen- und Spaltensummen erhalten wir schließlich:
		97	(%class="border" style="width:30%" %)
		98	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|
		99	\|{{formula}}S{{/formula}}\|{{formula}}0{,}08{{/formula}}\|\|{{formula}}0{,}2{{/formula}}
		100	\|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}\|{{formula}}0{,}75{{/formula}}\|{{formula}}0{,}05{{/formula}}\|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
		101	\|\|{{formula}}0{,}83{{/formula}}\|\|{{formula}}1{{/formula}}
		102
		103	Wir lesen ab: {{formula}}P(A)=0{,}83, \quad P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75{{/formula}}
		104	<br>
		105	und berechnen
		106	{{formula}}
		107	P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096
		108	{{/formula}}
		109	{{/detail}}
		110
		111	=== Teilaufgabe c) ===
		112	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}{{formula}}
		113	\mu-\frac{\sigma}{2}=19{,}75{{/formula}} und {{formula}}
		114	\mu+\frac{\sigma}{2}=25{,}25
		115	{{/formula}}
		116	<br>
		117	{{formula}}
		118	P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383
		119	{{/formula}}
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		121
		122
		123	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		124	//Aufgabenstellung//
		125	<br><p>
		126	Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die von einem Skifahrer an einem Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer um nicht mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
		127	</p>
		128	//Lösung//
		129	<br>
		130	Wir bestimmen die beiden Intervallgrenzen:
		131	<br>
		132	{{formula}}\mu-\frac{\sigma}{2}=22{,}5-2{,}75=19{,}75{{/formula}} und
		133	<br> {{formula}}
		134	\mu+\frac{\sigma}{2}=22{,}5+2{,}75=25{,}25
		135	{{/formula}}
		136	<p></p>
		137	Mit dem WTR berechnen wir mit Normal CD:
		138	{{formula}}P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383{{/formula}}
		139	{{/detail}}
		140
		141	=== Teilaufgabe d)===
		142	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		143	{{formula}}
		144	P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35
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		146	<br>
		147	Aus Symmetriegründen gilt:
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		149	P(22{,}5\le Y\le22{,}5+a)=0{,}175
		150	{{/formula}}
		151	<br>
		152	Mit dem WTR ergibt sich
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		162	Für ein {{formula}} a>0 {{/formula}} liegen bei 35% aller Skifahrer die pro Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer im Intervall {{formula}} [22{,}5-a; \ 22{,}5+a] {{/formula}}.
		163	<br>
		164	Ermittle den Wert von {{formula}} a {{/formula}} auf eine Nachkommastelle genau.
		165	</p>
		166	//Lösung//
		167	<br>
		168	Es gilt {{formula}}
		169	P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35
		170	{{/formula}}
		171	<br>
		172	Da das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt, gilt für die rechte Seite der Verteilung:
		173	<br>
		174	{{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a) = \frac{0{,}35}{2} = 0{,}175{{/formula}}
		175	<br>
		176	Weiterhin gilt
		177	<br>
		178	{{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)= P(Y \le 22{,}5+a) - P(Y \le 22{,}5){{/formula}}
		179	<br>
		180	Somit ist
		181	<br>
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		183	<p></p>
		184	Mit dem WTR erhalten wir nun über die Inverse Normalverteilung als obere Grenze:
		185	{{formula}}x_{oben}\approx24{,}996{{/formula}}
		186	<br>
		187	Damit erhalten wir {{formula}}a=x_{oben}-22,5\approx 2{,}5{{/formula}}.
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		189
		190	=== Teilaufgabe e) ===
		191	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		192	Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
		193	<br>
		194	③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
		195	<br>
		196	Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.
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		209	P(③)>P(Ⅲ) \Leftrightarrow
		210	0{,}168\cdot p+0{,}072>0{,}42-0{,}42\cdot p \Leftrightarrow p >\frac{29}{49}\approx0{,}592
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		216	//Aufgabenstellung//
		217	<br><p>
		218	Berechne, welchen Wert {{formula}} p {{/formula}} mindestens hat.
		219	</p>
		220	//Lösung//
		221	<br>
		222	Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
		223	<br>
		224	③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
		225	<br>
		226	Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.
		227	<p></p>
		228	Für das Ereignis ③ kommen zwei mögliche Wege in Frage, wenn man die Besucher betrachtet, die genau eine Liftfahrt machen:
		229	1. Weg 1: {{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{p}}{\to} \text{Lift Ⅱ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{0{,}4}}{\to} \text{Piste ③}{{/formula}}
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		236	Insgesamt ergibt sich damit {{formula}}P(③)=P(\text{Weg 1})+P(\text{Weg 2})
		237	=0{,}168\cdot p+0{,}072{{/formula}}
		238
		239	<p></p>
		240	Für das Ereignis Ⅲ kommt nur ein möglicher Weg in Frage:
		241	{{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{1-p}}{\to} \text{Lift Ⅲ}{{/formula}}
		242	<br>
		243	mit {{formula}}P(Ⅲ) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot (1-p) = 0{,}42 \cdot (1-p) = 0{,}42 - 0{,}42p{{/formula}}
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		245	Da wir durch die Aufgabenstellung wissen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Besucher über Piste ③ ankommen, höher ist, ergibt sich:
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		248	\begin{align*}
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		253	\Leftrightarrow \qquad \ p &>\frac{29}{49}\approx0{,}592
		254	\end{align*}
		255	{{/formula}}
		256	{{/detail}}

unfertig	fertig
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