Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -21,11 +21,41 @@
21	21	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
22	22	//Aufgabenstellung//
23	23	<br><p>
24		-
	24	+Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
	25	+<br>
	26	+A: In dieser Gruppe bestehen genau 125 Bewerber das Diktat.
	27	+<br>
	28	+B: In dieser Gruppe bestehen mindestens 60% der Bewerber das Diktat.
25	25	</p>
26	26	//Lösung//
	31	+Wir definieren die Zufallsvariable
27	27	<br>
28		-
	33	+{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
	34	+<br>
	35	+{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0{,}65{{/formula}}.
	36	+<p></p>
	37	+Wir berechnen mit dem WTR (binomialpdf) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 125 Bewerber bestehen:
	38	+<br>
	39	+{{formula}}
	40	+P(A)=P(X=125)\approx0{,}044
	41	+{{/formula}}
	42	+<br>
	43	+Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass mindestens 60% das Diktat bestehen, bestimmen wir zunächst 60% von 200:
	44	+{{formula}}
	45	+0{,}6\cdot200=120
	46	+{{/formula}}
	47	+<br>
	48	+Somit ist
	49	+<br>
	50	+{{formula}}
	51	+P(B)=P(X\ge120)
	52	+{{/formula}}
	53	+<br>
	54	+Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
	55	+<br>
	56	+{{formula}}
	57	+P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939
	58	+{{/formula}}
29	29	{{/detail}}
30	30
31	31	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -48,10 +48,33 @@
48	48	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
49	49	//Aufgabenstellung//
50	50	<br><p>
51		-
	81	+Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen, um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
52	52	</p>
53	53	//Lösung//
54	54	<br>
	85	+Der Erwartungswert ist gegeben durch
	86	+<br>
	87	+{{formula}}
	88	+\mu=n\cdot p=200\cdot0{,}65=130
	89	+{{/formula}}.
	90	+<br>
	91	+Die Standardabweichung beträgt
	92	+<br>
	93	+{{formula}}
	94	+\sigma=\sqrt{n\cdot (1-p)\cdot p }=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75
	95	+{{/formula}}.
	96	+<p></p>
	97	+Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
	98	+<br>
	99	+{{formula}}
	100	+P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right)=P(126{,}625\le X\le 133{,}375)=P(127\le X\le 133)
	101	+{{/formula}}.
	102	+<br>
	103	+Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
	104	+<br>
	105	+{{formula}}
	106	+P(X\le133)-P(X\le126)\approx 0{,}696 - 0{,}300=0{,}396
	107	+{{/formula}}
55	55	{{/detail}}
56	56
57	57	=== Teilaufgabe c) ===
...	...	@@ -63,10 +63,25 @@
63	63	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
64	64	//Aufgabenstellung//
65	65	<br><p>
66		-
	119	+Erläutere in Bezug auf die Anwendungssituation, zu welchem Ereignis die Wahrscheinlichkeit mit folgendem Term berechnet wird:
	120	+<br>
	121	+{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
67	67	</p>
68	68	//Lösung//
69	69	<br>
	125	+Wir betrachten zunächst den Term
	126	+<br>
	127	+{{formula}} \sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}.
	128	+<br>
	129	+Durch den Term wird eine kumulierte Binomialverteilung beschrieben. Dabei ist {{formula}}p=0{,}35{{/formula}}, das heißt, es wird die Anzahl der Bewerber betrachtet, die das Diktat nicht bestehen.
	130	+Da die Summe von {{formula}}i=0{{/formula}} bis {{formula}}i=30{{/formula}} läuft, wird durch den Term die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass höchstens 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
	131	+
	132	+<p></p>
	133	+Da durch {{formula}}1-\dots{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet wird, wird durch den Gesamtterm
	134	+<br>
	135	+{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
	136	+<br>
	137	+die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass mehr als 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
70	70	{{/detail}}
71	71
72	72	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -88,7 +88,7 @@
88	88	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
89	89	//Aufgabenstellung//
90	90	<br><p>
91		-
	159	+Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat.
92	92	</p>
93	93	//Lösung//
94	94	<br>
...	...	@@ -113,7 +113,9 @@
113	113	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
114	114	//Aufgabenstellung//
115	115	<br><p>
116		-
	184	+Aus den fünf Bewerbern wird einer zufällig ausgewählt.
	185	+<br>
	186	+Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein positives Testergebnis hat.
117	117	</p>
118	118	//Lösung//
119	119	<br>