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Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik

Version 2.2 von Anna Kukin am 2026/02/15 12:06
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
4 <br>
5 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0{,}65{{/formula}}.
6 <p></p>
7 {{formula}}
8 P(A)=P(X=125)\approx0{,}044
9 {{/formula}}
10 <br>
11 {{formula}}
12 0{,}6\cdot200=120
13 {{/formula}}
14 <br>
15 {{formula}}
16 P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939
17 {{/formula}}
18 {{/detail}}
19
20
21 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
22 //Aufgabenstellung//
23 <br><p>
24 Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
25 <br>
26 A: In dieser Gruppe bestehen genau 125 Bewerber das Diktat.
27 <br>
28 B: In dieser Gruppe bestehen mindestens 60% der Bewerber das Diktat.
29 </p>
30 //Lösung//
31 Wir definieren die Zufallsvariable
32 <br>
33 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
34 <br>
35 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0{,}65{{/formula}}.
36 <p></p>
37 Wir berechnen mit dem WTR (binomialpdf) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 125 Bewerber bestehen:
38 <br>
39 {{formula}}
40 P(A)=P(X=125)\approx0{,}044
41 {{/formula}}
42 <br>
43 Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass mindestens 60% das Diktat bestehen, bestimmen wir zunächst 60% von 200:
44 {{formula}}
45 0{,}6\cdot200=120
46 {{/formula}}
47 <br>
48 Somit ist
49 <br>
50 {{formula}}
51 P(B)=P(X\ge120)
52 {{/formula}}
53 <br>
54 Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
55 <br>
56 {{formula}}
57 P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939
58 {{/formula}}
59 {{/detail}}
60
61 === Teilaufgabe b) ===
62 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
63 {{formula}}
64 \mu=200\cdot0{,}65=130
65 {{/formula}}
66 <br>
67 {{formula}}
68 \sigma=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75
69 {{/formula}}
70 <br>
71 {{formula}}
72 P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)
73 =P(127\le X\le133)=P(X\le133)-P(X\le126)\approx0{,}396
74 {{/formula}}
75 {{/detail}}
76
77
78 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
79 //Aufgabenstellung//
80 <br><p>
81 Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen, um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
82 </p>
83 //Lösung//
84 <br>
85 Der Erwartungswert ist gegeben durch
86 <br>
87 {{formula}}
88 \mu=n\cdot p=200\cdot0{,}65=130
89 {{/formula}}.
90 <br>
91 Die Standardabweichung beträgt
92 <br>
93 {{formula}}
94 \sigma=\sqrt{n\cdot (1-p)\cdot p }=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75
95 {{/formula}}.
96 <p></p>
97 Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
98 <br>
99 {{formula}}
100 P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right)=P(126{,}625\le X\le 133{,}375)=P(127\le X\le 133)
101 {{/formula}}.
102 <br>
103 Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
104 <br>
105 {{formula}}
106 P(X\le133)-P(X\le126)\approx 0{,}696 - 0{,}300=0{,}396
107 {{/formula}}
108 {{/detail}}
109
110 === Teilaufgabe c) ===
111 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
112 Mehr als 30 Bewerber bestehen das Diktat nicht.
113 {{/detail}}
114
115
116 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
117 //Aufgabenstellung//
118 <br><p>
119 Erläutere in Bezug auf die Anwendungssituation, zu welchem Ereignis die Wahrscheinlichkeit mit folgendem Term berechnet wird:
120 <br>
121 {{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
122 </p>
123 //Lösung//
124 <br>
125 Wir betrachten zunächst den Term
126 <br>
127 {{formula}} \sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}.
128 <br>
129 Durch den Term wird eine kumulierte Binomialverteilung beschrieben. Dabei ist {{formula}}p=0{,}35{{/formula}}, das heißt, es wird die Anzahl der Bewerber betrachtet, die das Diktat nicht bestehen.
130 Da die Summe von {{formula}}i=0{{/formula}} bis {{formula}}i=30{{/formula}} läuft, wird durch den Term die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass höchstens 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
131
132 <p></p>
133 Da durch {{formula}}1-\dots{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet wird, wird durch den Gesamtterm
134 <br>
135 {{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
136 <br>
137 die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass mehr als 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
138 {{/detail}}
139
140 === Teilaufgabe d) ===
141 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
142 {{formula}}A{{/formula}}: Bewerber hat das Abitur als höchsten Schulabschluss
143 <br>
144 {{formula}}D{{/formula}}: Bewerber hat das Diktat bestanden
145 <p></p>
146 Aus {{formula}}
147 P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
148 {{/formula}}
149 erhält man
150 {{formula}}
151 P(A)=0{,}4
152 {{/formula}}.
153 {{/detail}}
154
155
156 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
157 //Aufgabenstellung//
158 <br><p>
159 Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat.
160 </p>
161 //Lösung//
162 <br>
163 Es gilt:
164 <br>
165 {{formula}}
166 P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
167 {{/formula}}
168 <br>
169 Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
170 <br>
171 und somit:
172 <br>
173 {{formula}}
174 P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
175 {{/formula}}
176 <p></p>
177 Wir setzen nun {{formula}}P_A(D)=0{,}8{{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D)=0{,}55{{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}P(A){{/formula}}:
178 <p></p>
179 {{formula}}
180 \begin{align*}
181 & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\
182 \Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\
183 \Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\
184 \Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\
185 \Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
186 \end{align*}
187 {{/formula}}
188
189 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
190 {{/detail}}
191
192 === Teilaufgabe e) ===
193 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
194 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
195 <br>
196 {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
197
198 {{formula}}
199 P(Y\ge1)\approx0{,}141 \Leftrightarrow
200 P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)\approx 0{,}859 \Leftrightarrow
201 (1-p)^5\approx0{,}859 \Leftrightarrow
202 1-p\approx\sqrt[5]{0{,}859} \Leftrightarrow
203 p\approx0{,}030
204 {{/formula}}
205 {{/detail}}
206
207
208 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
209 //Aufgabenstellung//
210 <br><p>
211 Aus den fünf Bewerbern wird einer zufällig ausgewählt.
212 <br>
213 Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein positives Testergebnis hat.
214 </p>
215 //Lösung//
216 <br>
217 Wir definieren:
218 <br>
219 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
220 <br>
221 {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
222 <p></p>
223 Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
224 <br>
225 {{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}
226 {{/detail}}