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Lösung Stochastik

Version 5.2 von Anna Kukin am 2026/02/16 17:37

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont \(X\): Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
\(X\) ist binomialverteilt mit \(n=200\) und \(p=0{,}65\).

\(P(A)=P(X=125)\approx0{,}044\)
\(0{,}6\cdot200=120\)
\(P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: In dieser Gruppe bestehen genau 125 Bewerber das Diktat.
B: In dieser Gruppe bestehen mindestens 60% der Bewerber das Diktat.

Lösung Wir definieren die Zufallsvariable
\(X\): Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
\(X\) ist binomialverteilt mit \(n=200\) und \(p=0{,}65\).

Wir berechnen mit dem WTR (binomialpdf) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 125 Bewerber bestehen:
\(P(A)=P(X=125)\approx0{,}044\)
Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass mindestens 60% das Diktat bestehen, bestimmen wir zunächst 60% von 200: \(0{,}6\cdot200=120\)
Somit ist
\(P(B)=P(X\ge 120)\)
Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten \(P(X\le m)\) berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
\(P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939\)

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont \(\mu=200\cdot0{,}65=130\)
\(\sigma=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75\)
\(P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right) =P(127\le X\le133)=P(X\le133)-P(X\le126)\approx0{,}396\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen, um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.

Lösung
Der Erwartungswert ist gegeben durch
\(\mu=n\cdot p=200\cdot0{,}65=130\).
Die Standardabweichung beträgt
\(\sigma=\sqrt{n\cdot (1-p)\cdot p }=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75\).

Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
\(\begin{align*} P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)&=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right) \\ &=P(126{,}625\le X\le 133{,}375) \\ &=P(127\le X\le 133) \end{align*}\).
Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten \(P(X\le m)\) berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
\(P(X\le133)-P(X\le126)\approx 0{,}696 - 0{,}300=0{,}396\)

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont Mehr als 30 Bewerber bestehen das Diktat nicht.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Erläutere in Bezug auf die Anwendungssituation, zu welchem Ereignis die Wahrscheinlichkeit mit folgendem Term berechnet wird:
\( 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} \)

Lösung
Wir betrachten zunächst den Term
\( \sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} \).
Durch den Term wird eine kumulierte Binomialverteilung beschrieben. Dabei ist \(p=0{,}35\), das heißt, es wird die Anzahl der Bewerber betrachtet, die das Diktat nicht bestehen. Da die Summe von \(i=0\) bis \(i=30\) läuft, wird durch den Term die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass höchstens 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.

Da durch \(1-\dots\) die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet wird, wird durch den Gesamtterm
\( 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} \)
die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass mehr als 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont \(A\): Bewerber hat das Abitur als höchsten Schulabschluss
\(D\): Bewerber hat das Diktat bestanden

Aus \(P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65\) erhält man \(P(A)=0{,}4\).
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat.

Lösung
Es gilt:
\(P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65\)
Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt \(P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)\) und \(P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)\)
und somit:
\(P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65\)

Wir setzen nun \(P_A(D)=0{,}8\) und \(P_{\overline{A}}(D)=0{,}55\) ein und stellen um nach \(P(A)\):

\(\begin{align*} & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\ \Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\ \Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\ \Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\ \Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4 \end{align*}\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit \(P(A)=0{,}4\).

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont \(Y\): Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
\(Y\) ist binomialverteilt mit \(n=5\) und unbekanntem \(p\).
\(\begin{align*} & & P(Y\ge1)&\approx0{,}141 \\ \Leftrightarrow & \quad & P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)&\approx 0{,}859 \\ \Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx0{,}859 \\ \Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx\sqrt[5]{0{,}859} \\ \Leftrightarrow & \quad & p &\approx0{,}030 \end{align*}\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Aus den fünf Bewerbern wird einer zufällig ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein positives Testergebnis hat.

Lösung
Wir definieren:
\(Y\): Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
\(Y\) ist binomialverteilt mit \(n=5\) und unbekanntem \(p\).

Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt \(P(Y\ge1)\approx0{,}141\).
Da \(Y=0\) das Gegenereignis ist zu \(Y\ge 1\), gilt \(P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859\) (um die Rechnung zu vereinfachen rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit).
Mit der Bernoulli-Formel erhalten wir \(P(Y=0)= \binom{5}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0} = (1-p)^5\), wobei \(p\) die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis ist.

Insgesamt erhalten wir somit:
\(\begin{align*} & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\ \Leftrightarrow & \quad & P(Y=0) &\approx 0{,}859 \\ \Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\ \Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\ \Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030 \end{align*}\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber ein positives Testergebnis hat, beträgt somit ungefähr \(0{,}030\).