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Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/16 17:59
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
4 <br>
5 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0{,}65{{/formula}}.
6 <p></p>
7 {{formula}}
8 P(A)=P(X=125)\approx0{,}044
9 {{/formula}}
10 <br>
11 {{formula}}
12 0{,}6\cdot200=120
13 {{/formula}}
14 <br>
15 {{formula}}
16 P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939
17 {{/formula}}
18 {{/detail}}
19
20
21 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
22 //Aufgabenstellung//
23 <br><p>
24 Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
25 <br>
26 A: In dieser Gruppe bestehen genau 125 Bewerber das Diktat.
27 <br>
28 B: In dieser Gruppe bestehen mindestens 60% der Bewerber das Diktat.
29 </p>
30 //Lösung//
31 Wir definieren die Zufallsvariable
32 <br>
33 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
34 <br>
35 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0{,}65{{/formula}}.
36 <p></p>
37 Wir berechnen mit dem WTR (binomialpdf) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 125 Bewerber bestehen:
38 <br>
39 {{formula}}
40 P(A)=P(X=125)\approx0{,}044
41 {{/formula}}
42 <br>
43 Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass mindestens 60% das Diktat bestehen, bestimmen wir zunächst 60% von 200:
44 {{formula}}
45 0{,}6\cdot200=120
46 {{/formula}}
47 <br>
48 Somit ist
49 <br>
50 {{formula}}
51 P(B)=P(X\ge 120)
52 {{/formula}}
53 <br>
54 Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
55 <br>
56 {{formula}}
57 P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939
58 {{/formula}}
59 {{/detail}}
60
61 === Teilaufgabe b) ===
62 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
63 {{formula}}
64 \mu=200\cdot0{,}65=130
65 {{/formula}}
66 <br>
67 {{formula}}
68 \sigma=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75
69 {{/formula}}
70 <br>
71 {{formula}}
72 P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)
73 =P(127\le X\le133)=P(X\le133)-P(X\le126)\approx0{,}396
74 {{/formula}}
75 {{/detail}}
76
77
78 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
79 //Aufgabenstellung//
80 <br><p>
81 Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen, um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
82 </p>
83 //Lösung//
84 <br>
85 Der Erwartungswert ist gegeben durch
86 <br>
87 {{formula}}
88 \mu=n\cdot p=200\cdot0{,}65=130
89 {{/formula}}.
90 <br>
91 Die Standardabweichung beträgt
92 <br>
93 {{formula}}
94 \sigma=\sqrt{n\cdot (1-p)\cdot p }=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75
95 {{/formula}}.
96 <p></p>
97 Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
98 <br>
99 {{formula}}
100 \begin{align*}
101 P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)&=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right) \\
102 &=P(126{,}625\le X\le 133{,}375) \\
103 &=P(127\le X\le 133)
104 \end{align*}
105 {{/formula}}.
106 <br>
107 Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
108 <br>
109 {{formula}}
110 P(X\le133)-P(X\le126)\approx 0{,}696 - 0{,}300=0{,}396
111 {{/formula}}
112 {{/detail}}
113
114 === Teilaufgabe c) ===
115 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
116 Mehr als 30 Bewerber bestehen das Diktat nicht.
117 {{/detail}}
118
119
120 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
121 //Aufgabenstellung//
122 <br><p>
123 Erläutere in Bezug auf die Anwendungssituation, zu welchem Ereignis die Wahrscheinlichkeit mit folgendem Term berechnet wird:
124 <br>
125 {{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
126 </p>
127 //Lösung//
128 <br>
129 Wir betrachten zunächst den Term
130 <br>
131 {{formula}} \sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}.
132 <br>
133 Durch den Term wird eine kumulierte Binomialverteilung beschrieben. Dabei ist {{formula}}p=0{,}35{{/formula}}, das heißt, es wird die Anzahl der Bewerber betrachtet, die das Diktat nicht bestehen.
134 Da die Summe von {{formula}}i=0{{/formula}} bis {{formula}}i=30{{/formula}} läuft, wird durch den Term die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass höchstens 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
135
136 <p></p>
137 Da durch {{formula}}1-\dots{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet wird, wird durch den Gesamtterm
138 <br>
139 {{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
140 <br>
141 die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass mehr als 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
142 {{/detail}}
143
144 === Teilaufgabe d) ===
145 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
146 {{formula}}A{{/formula}}: Bewerber hat das Abitur als höchsten Schulabschluss
147 <br>
148 {{formula}}D{{/formula}}: Bewerber hat das Diktat bestanden
149 <p></p>
150 Aus {{formula}}
151 P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
152 {{/formula}}
153 erhält man
154 {{formula}}
155 P(A)=0{,}4
156 {{/formula}}.
157 {{/detail}}
158
159
160 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
161 //Aufgabenstellung//
162 <br><p>
163 Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat.
164 </p>
165 //Lösung//
166 <br>
167 Es gilt:
168 <br>
169 {{formula}}
170 P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
171 {{/formula}}
172 <br>
173 Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
174 <br>
175 und somit:
176 <br>
177 {{formula}}
178 P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
179 {{/formula}}
180 <p></p>
181 Wir setzen nun {{formula}}P_A(D)=0{,}8{{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D)=0{,}55{{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}P(A){{/formula}}:
182 <p></p>
183 {{formula}}
184 \begin{align*}
185 & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\
186 \Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\
187 \Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\
188 \Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\
189 \Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
190 \end{align*}
191 {{/formula}}
192 <br>
193 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
194 {{/detail}}
195
196 === Teilaufgabe e) ===
197 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
198 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
199 <br>
200 {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
201 <br>
202 {{formula}}
203 \begin{align*}
204 & & P(Y\ge1)&\approx0{,}141 \\
205 \Leftrightarrow & \quad &
206 P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)&\approx 0{,}859 \\
207 \Leftrightarrow & \quad &
208 (1-p)^5 &\approx0{,}859 \\
209 \Leftrightarrow & \quad &
210 1-p &\approx\sqrt[5]{0{,}859} \\
211 \Leftrightarrow & \quad &
212 p &\approx0{,}030
213 \end{align*}
214 {{/formula}}
215 {{/detail}}
216
217
218 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
219 //Aufgabenstellung//
220 <br><p>
221 Aus den fünf Bewerbern wird einer zufällig ausgewählt.
222 <br>
223 Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein positives Testergebnis hat.
224 </p>
225 //Lösung//
226 <br>
227 Wir definieren:
228 <br>
229 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
230 <br>
231 {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
232 <p></p>
233 Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
234 {{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}.
235 <br>
236 Da {{formula}}Y=0{{/formula}} das Gegenereignis ist zu {{formula}}Y\ge 1{{/formula}}, gilt {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}} (um die Rechnung zu vereinfachen rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit).
237 <br>
238 Mit der Bernoulli-Formel erhalten wir {{formula}}P(Y=0)= \binom{5}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0} = (1-p)^5{{/formula}}, wobei {{formula}}p{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis ist.
239 <p></p>
240 Insgesamt erhalten wir somit:
241 <br>
242 {{formula}}
243 \begin{align*}
244 & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\
245 \Leftrightarrow & \quad & P(Y=0) &\approx 0{,}859 \\
246 \Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\
247 \Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\
248 \Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030
249 \end{align*}
250 {{/formula}}
251 <br>
252 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber ein positives Testergebnis hat, beträgt somit ungefähr {{formula}}0{,}030{{/formula}}.
253 {{/detail}}