Lösung Schnittpunkt und Ebenengleichung

Man kann an den beiden Geradengleichungen direkt ablesen, dass sie denselben Stützvektor besitzen. Die Koordinaten des Schnittpunktes lauten somit: \( S(3|-3|3) \).

Damit die Geraden senkrecht zueinander verlaufen, muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren gleich null sein:
\(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 = 3 + 0 - 3 = 0\)
Da das Skalarprodukt gleich null ist, stehen die Geraden \( g \) und \( h \) senkrecht aufeinander.

Da die Ebene \( E \) beide Geraden enthält, spannen die beiden Richtungsvektoren der Geraden die Ebene auf. Um die Ebenengleichung in Koordinatenform zu bestimmen, benötigen wir einen Normalenvektor \( \vec{n} \), der senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht.

Da beide Richtungsvektoren als \( x_2 \)-Koordinate eine \( 0 \) besitzen, liegen sie parallel zur \( x_1 x_3 \)-Ebene. Ein Vektor, der darauf senkrecht steht, ist der Einheitsvektor der \( x_2 \)-Achse:
\( \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Alternativ können wir den Normalenvektor über das Kreuzprodukt berechnen: \( \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Die allgemeine Form der Koordinatengleichung lautet somit: \(E: x_2=c\) mit \(c\in \mathbb{R}\).

Da \((3|-3|3) \in E\), setzen wir den Punkt ein und erhalten \(c=-3\).

Die Koordinatengleichung der Ebene lautet somit \( E: x_2 = -3 \)