Lösung Genau ein gemeinsamer Punkt
Ob und wie oft sich zwei trigonometrische Funktionen schneiden hängt zum einen von ihren Wertebereichen ab, zum anderen von ihren Periodenlängen.
Um die Situation nur einen gemeinsamen Punkt zu konstruieren, denkt man am besten zunächst über die Wertebereiche nach. Hier gibt es drei Möglichkeiten:
- Die Wertebereiche sind disjunkt .. dann gibt es keine Schnittpunkte
- Die Wertebereiche überlappen sich .. dann finden wir Schnittpunkte vor
- Die Wertebereiche berühren sich .. dann entstehen Berührpunkte
Ohne es zu beweisen, darf man vermuten, dass es bei sich überlappenden Wertebereichen eher mehr gemeinsame Punkte gibt, als bei sich berührenden. Für die gewünschte Situation erscheint das also der geeignetere zu sein.
Wir stellen also beispielsweise folgende zwei Funktionen auf:
.. mit den Periodenlängen ..
\(p_f=2\pi\), \(p_g=\frac{2\pi}{k}\)
Von diesen wissen wir, dass sie sich im Punkt \(P(0|1)\) berühren. Jetzt gilt es, ein k zu finden, für das es keinen weiteren Berührpunkt gibt. Sprich: wir suchen ein k für das das a-fache der Periodenlänge von g nicht gleich einem b-fachen von f ist (\(a, b \in \mathbb{N}\)). Die folgende Gleichung soll also keine Lösung haben:
\(\Rightarrow a\cdot p_f = b\cdot p_g\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b}\cdot p_f = p_g\)
Statt \(\frac{a}{b}\) schreiben wir im Folgenden \(q \in \mathbb{Q}\):
\(q\cdot 2\pi = \frac{2\pi}{k}\) | \(:2\pi\)
\(\Rightarrow q = \frac{1}{k}\)
q ist genau dann eine rationale Zahl, wenn k ebenfalls eine rationale Zahl ist. Es gibt also keine weiteren Berührpunkte, wenn k eine irrationale Zahl ist.
Die folgenden beiden Funktion haben ausschließlich den gemeinsamen Punt \(P(0|1)\):