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Wiki-Quellcode von Lösung Ebbe und Flut

Zuletzt geändert von akukin am 2026/08/13 13:30
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Anna Kukin 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. Ausgehend von der allgemeinen Form der Sinusfunktion {{formula}}h(t) = a \cdot \sin(b(t - c)) + d{{/formula}} lesen wir ab/bestimmen:
3 Amplitude ({{formula}}a{{/formula}}): {{formula}}3{,}2{{/formula}}
4 Periodenlänge ({{formula}}p{{/formula}}): {{formula}}b = \frac{\pi}{6} \implies p = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}} = 12{{/formula}}
5 Verschiebung in y-Richtung ({{formula}}d{{/formula}}): 4
6 Verschiebung in x-Richtung ({{formula}}c{{/formula}}): 1
7 1. Amplitude: Sie gibt an, wie weit der Meeresspiegel vom Mittelwert nach oben (bei Flut) und nach unten (bei Ebbe) maximal abweicht.
8 Periodenlänge: Sie gibt an, wie lange ein voller Gezeitenzyklus dauert. Es vergehen also genau 12 Stunden, bis sich das Muster wiederholt.
Anna Kukin 6.1 9 Verschiebung in y-Richtung: Gibt den mittleren Wasserstand an.
Anna Kukin 2.1 10 1. (((Um 4:00 Uhr ({{formula}}t = 4{{/formula}}):
Anna Kukin 7.1 11 {{formula}}h(4) = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(4 - 1)\right) + 4 = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) + 4 = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4= 3{,}2 \cdot 1 + 4 = 7{,}2\text{ m}{{/formula}}
Anna Kukin 2.1 12
13 Um 10:20 Uhr {{formula}}\left(t = 10 + \frac{20}{60} = \frac{31}{3}\right){{/formula}}:
Anna Kukin 7.1 14 {{formula}}h\left(\frac{31}{3}\right) = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\left(\frac{31}{3} - 1\right)\right) + 4 = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{14\pi}{9}\right) + 4\approx 3{,}2 \cdot (-0{,}9848) + 4 = -3{,}15 + 4 = 0{,}85\text{ m}{{/formula}})))
Anna Kukin 2.1 15 1. (((Höchster Wasserstand:
16 Den höchsten Wasserstand können wir bestimmen, indem wir zu der y-Verschiebung die Amplitude addieren: 4m+3,2m=7,2m.
17 Aus der vorherigen Teilaufgabe wissen wir, dass zum Zeitpunkt {{formula}}t=4{{/formula}}, also um 4:00 Uhr der Wasserstand 7,2m erreicht. Da die Periode 12 beträgt wissen wir zudem, dass der Wasserstand 12 Stunden später, also um 16:00 Uhr ({{formula}}t=16{{/formula}}) erreicht wird.
18
19 Niedrigster Wasserstand:
20 Wir bestimmen den niedrigsten Wasserstand analog, indem wir von der y-Verschiebung die Amplitude subtrahieren: 4m-3,2m=0,8m.
Anna Kukin 7.1 21 Der Wasserstand ist am niedrigsten, wenn der Sinusterm sein Minimum erreicht hat, das heißt wenn
22 {{formula}}\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right) = -1 {{/formula}} gilt.
Anna Kukin 2.1 23
24 Die Sinusfunktion nimmt erstmals den Wert {{formula}}-1{{/formula}} an, wenn das Argument {{formula}}\frac{3}{2}\pi{{/formula}} ist, das heißt : {{formula}} \frac{\pi}{6}(t - 1)=\frac{3}{2}\pi \Leftrightarrow t=10{{/formula}}
25 Somit wird um 10 Uhr und um 22 Uhr (12 Stunden später) der niedrigste Wasserstand erreicht.
26 )))
Anna Kukin 6.1 27 1. [[image:EbbeFlut.svg||"width=250"]]
28 1. (((Wir suchen alle {{formula}}t{{/formula}} für die {{formula}}h(t)\geq 5{,}5{{/formula}} gilt. Wir setzen also {{formula}}h(t)= 5{,}5{{/formula}} und stellen nach {{formula}}t{{/formula}} um:
29 {{formula}}3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right) + 4 = 5{,}5 \ \Leftrightarrow \ 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right)= 1{,}5 \ \Leftrightarrow \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right)= \frac{1{,}5}{3{,}2}{{/formula}}
30 Den ersten Zeitpunkt erhalten wir mit Hilfe der Umkehrfunktion der Sinufunktion({{formula}}\sin^{-1}{{/formula}}):
31 {{formula}}\frac{\pi}{6}(t_1 - 1)=\sin^{-1}\left(\frac{1{,}5}{3{,}2}\right) \ \Leftrightarrow \ t_1= \frac{6}{\pi}\sin^{-1}\left(\frac{1{,}5}{3{,}2}\right) +1 \approx 1{,}93{{/formula}}
32 //Hinweis: Denke daran, deinen Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) zu stellen.//
Anna Kukin 2.1 33
Anna Kukin 7.1 34 Aufgrund der Symmetrie der Sinusfunktion ergibt sich der nächste Zeitpunkt, an dem der Wasserstand wieder 5,5m beträgt durch {{formula}}\frac{\pi}{6}(t_2 - 1)=\pi - \sin^{-1}\left(\frac{1{,}5}{3{,}2}\right) \ \Leftrightarrow \ t_2= \frac{6}{\pi} \left(\pi - \sin^{-1}\left(\frac{1{,}5}{3{,}2}\right)\right)+1 \approx 6{,}07{{/formula}}
Anna Kukin 6.1 35
Anna Kukin 7.1 36 Das Fischerboot kann den Hafen also zwischen {{formula}}t_1 \approx 1{,}93{{/formula}} und {{formula}}t_2 \approx 6{,}07{{/formula}}, das heißt zwischen etwa **1:56 Uhr und 6:04 Uhr**, den Hafen verlassen.
Anna Kukin 6.1 37
Anna Kukin 7.1 38 Wegen der Periodität der Sinusfunktion gibt es 12 Stunden später einen weiteren Zeitraum, in dem das Boot den Hafen verlassen kann, nämlich zwischen etwa **13:56 Uhr und 18:04 Uhr**.
Anna Kukin 6.1 39 )))
Anna Kukin 7.1 40 1. Da sowohl das Wetter (beispielsweise Wind) als auch der Luftdruck den Wasserstand/die Wasserbewegung beeinflussen können, beschreiben trigonometrische Funktionen nur näherungsweise Ebbe und Flut.
41 1. (((Stehen Sonne, Mond und Erde in einer Linie, so addieren sich die Beiträge zur Amplitude. Das heißt, für die Amplitudenbeiträge gilt: {{formula}}A_{\text{Springflut}}=A_{\text{Mond}}+A_{\text{Sonne}}{{/formula}}
Anna Kukin 6.1 42
Anna Kukin 7.1 43 Da der Einfluss des Mondes doppelt so hoch ist wie der Einfluss der Sonne, gilt {{formula}}A_{\text{Mond}}=2\cdot A_{\text{Sonne}}{{/formula}} und somit{{formula}}A_{\text{Springflut}}=2\cdot A_{\text{Sonne}}+A_{\text{Sonne}}=3\cdot A_{\text{Sonne}}{{/formula}}.
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45 Die Amplitude der Springflut beträgt 3,2m, daher gilt
46 {{formula}}3A_{\text{Sonne}}=3{,}2\text{ m} \implies A_{\text{Sonne}}=\frac{3{,}2}{3}\text{ m}\approx1{,}07\text{ m}{{/formula}} und somit{{formula}}A_{\text{Mond}}=2\cdot\frac{3{,}2}{3}\text{ m}\approx2{,}13\text{ m}{{/formula}}.
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Anna Kukin 6.1 48 Bei der Nippflut wirken die Einflüsse entgegengesetzt, also:
Anna Kukin 7.1 49 {{formula}}A_{\text{Nippflut}}\approx2{,}13\text{ m}-1{,}07\text{ m}=1{,}07\text{ m}{{/formula}}
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Anna Kukin 7.1 51 Der maximale Wasserstand wäre damit
52 {{formula}}h_{\max}=4\text{ m}+1{,}07\text{ m}=5{,}07\text{ m}{{/formula}}.)))
Anna Kukin 6.1 53
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