Lösung Ebbe und Flut

(%class=abc%)

1. Ausgehend von der allgemeinen Form der Sinusfunktion {{formula}}h(t) = a \cdot \sin(b(t - c)) + d{{/formula}} lesen wir ab/bestimmen:

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Amplitude ({{formula}}a{{/formula}}): {{formula}}3{,}2{{/formula}}

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Periodenlänge ({{formula}}p{{/formula}}): {{formula}}b = \frac{\pi}{6} \implies p = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}} = 12{{/formula}}

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Verschiebung in y-Richtung ({{formula}}d{{/formula}}): 4

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Verschiebung in x-Richtung ({{formula}}c{{/formula}}): 1

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1. Amplitude: Sie gibt an, wie weit der Meeresspiegel vom Mittelwert nach oben (bei Flut) und nach unten (bei Ebbe) maximal abweicht.

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Periodenlänge: Sie gibt an, wie lange ein voller Gezeitenzyklus dauert. Es vergehen also genau 12 Stunden, bis sich das Muster wiederholt.

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Verschiebung in y-Richtung: Gibt den mittleren Wasserstand an.

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1. (((Um 4:00 Uhr ({{formula}}t = 4{{/formula}}):

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{{formula}}h(4) = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(4 - 1)\right) + 4 = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) + 4 = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4= 3{,}2 \cdot 1 + 4 = 7{,}2\text{ m}{{/formula}}

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Um 10:20 Uhr {{formula}}\left(t = 10 + \frac{20}{60} = \frac{31}{3}\right){{/formula}}:

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{{formula}}h\left(\frac{31}{3}\right) = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\left(\frac{31}{3} - 1\right)\right) + 4 = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{14\pi}{9}\right) + 4\approx 3{,}2 \cdot (-0{,}9848) + 4 = -3{,}15 + 4 = 0{,}85\text{ m}{{/formula}})))

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1. (((Höchster Wasserstand:

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Den höchsten Wasserstand können wir bestimmen, indem wir zu der y-Verschiebung die Amplitude addieren: 4m+3,2m=7,2m.

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Aus der vorherigen Teilaufgabe wissen wir, dass zum Zeitpunkt {{formula}}t=4{{/formula}}, also um 4:00 Uhr der Wasserstand 7,2m erreicht. Da die Periode 12 beträgt wissen wir zudem, dass der Wasserstand 12 Stunden später, also um 16:00 Uhr ({{formula}}t=16{{/formula}}) erreicht wird.

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Niedrigster Wasserstand:

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Wir bestimmen den niedrigsten Wasserstand analog, indem wir von der y-Verschiebung die Amplitude subtrahieren: 4m-3,2m=0,8m.

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Der Wasserstand ist am niedrigsten, wenn der Sinusterm sein Minimum erreicht hat, das heißt wenn

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{{formula}}\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right) = -1 {{/formula}} gilt.

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Die Sinusfunktion nimmt erstmals den Wert {{formula}}-1{{/formula}} an, wenn das Argument {{formula}}\frac{3}{2}\pi{{/formula}} ist, das heißt : {{formula}} \frac{\pi}{6}(t - 1)=\frac{3}{2}\pi \Leftrightarrow t=10{{/formula}}

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Somit wird um 10 Uhr und um 22 Uhr (12 Stunden später) der niedrigste Wasserstand erreicht.

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)))

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1. [[image:EbbeFlut.svg||"width=250"]]

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1. (((Wir suchen alle {{formula}}t{{/formula}} für die {{formula}}h(t)\geq 5{,}5{{/formula}} gilt. Wir setzen also {{formula}}h(t)= 5{,}5{{/formula}} und stellen nach {{formula}}t{{/formula}} um:

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{{formula}}3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right) + 4 = 5{,}5 \ \Leftrightarrow \ 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right)= 1{,}5 \ \Leftrightarrow \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right)= \frac{1{,}5}{3{,}2}{{/formula}}

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Den ersten Zeitpunkt erhalten wir mit Hilfe der Umkehrfunktion der Sinufunktion({{formula}}\sin^{-1}{{/formula}}):

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{{formula}}\frac{\pi}{6}(t_1 - 1)=\sin^{-1}\left(\frac{1{,}5}{3{,}2}\right) \ \Leftrightarrow \ t_1= \frac{6}{\pi}\sin^{-1}\left(\frac{1{,}5}{3{,}2}\right) +1 \approx 1{,}93{{/formula}}

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//Hinweis: Denke daran, deinen Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) zu stellen.//

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Aufgrund der Symmetrie der Sinusfunktion ergibt sich der nächste Zeitpunkt, an dem der Wasserstand wieder 5,5m beträgt durch {{formula}}\frac{\pi}{6}(t_2 - 1)=\pi - \sin^{-1}\left(\frac{1{,}5}{3{,}2}\right) \ \Leftrightarrow \ t_2= \frac{6}{\pi} \left(\pi - \sin^{-1}\left(\frac{1{,}5}{3{,}2}\right)\right)+1 \approx 6{,}07{{/formula}}

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Das Fischerboot kann den Hafen also zwischen {{formula}}t_1 \approx 1{,}93{{/formula}} und {{formula}}t_2 \approx 6{,}07{{/formula}}, das heißt zwischen etwa **1:56 Uhr und 6:04 Uhr**, den Hafen verlassen.

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Wegen der Periodität der Sinusfunktion gibt es 12 Stunden später einen weiteren Zeitraum, in dem das Boot den Hafen verlassen kann, nämlich zwischen etwa **13:56 Uhr und 18:04 Uhr**.

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)))

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1. Da sowohl das Wetter (beispielsweise Wind) als auch der Luftdruck den Wasserstand/die Wasserbewegung beeinflussen können, beschreiben trigonometrische Funktionen nur näherungsweise Ebbe und Flut.

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1. (((Stehen Sonne, Mond und Erde in einer Linie, so addieren sich die Beiträge zur Amplitude. Das heißt, für die Amplitudenbeiträge gilt: {{formula}}A_{\text{Springflut}}=A_{\text{Mond}}+A_{\text{Sonne}}{{/formula}}

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Da der Einfluss des Mondes doppelt so hoch ist wie der Einfluss der Sonne, gilt {{formula}}A_{\text{Mond}}=2\cdot A_{\text{Sonne}}{{/formula}} und somit{{formula}}A_{\text{Springflut}}=2\cdot A_{\text{Sonne}}+A_{\text{Sonne}}=3\cdot A_{\text{Sonne}}{{/formula}}.

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Die Amplitude der Springflut beträgt 3,2m, daher gilt

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{{formula}}3A_{\text{Sonne}}=3{,}2\text{ m} \implies A_{\text{Sonne}}=\frac{3{,}2}{3}\text{ m}\approx1{,}07\text{ m}{{/formula}} und somit{{formula}}A_{\text{Mond}}=2\cdot\frac{3{,}2}{3}\text{ m}\approx2{,}13\text{ m}{{/formula}}.

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Bei der Nippflut wirken die Einflüsse entgegengesetzt, also:

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{{formula}}A_{\text{Nippflut}}\approx2{,}13\text{ m}-1{,}07\text{ m}=1{,}07\text{ m}{{/formula}}

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Der maximale Wasserstand wäre damit

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{{formula}}h_{\max}=4\text{ m}+1{,}07\text{ m}=5{,}07\text{ m}{{/formula}}.)))

Wiki-Quellcode von Lösung Ebbe und Flut