2024 eAN - Teil A - Pflichtaufgaben

Aufgabe 1  Analysis 1 𝕋  𝕃

Gegeben ist eine im Intervall \([-4;4]\) definierte Polynomfunktion f vom Grad 3. Der Graph von f ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet die x-Achse im Punkt \(N(4|0)\). Der Wertebereich von f ist \(W_f=[-2;2]\).

1. [3 BE] Skizziere den Graphen der Funktion f, wenn bekannt ist, dass \(f'(0)<0\) gilt.
2. [2 BE] Bestimme eine Funktionsgleichung einer trigonometrischen Funktion g, sodass f und g im Intervall \([-4;4]\) dieselben Nullstellen haben.

Aufgabe 2  Analysis 2 𝕋  𝕃

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion f mit \(f(x)=-2x+e^{ex}\).

1. [1 BE] Gib eine Gleichung der Asymptote des Graphen von f an.
2. [2 BE] Bestimme den x-Wert, an dem der Graph von f die Steigung 2 hat. 
3. [2 BE] Zeige, dass der Graph von f keinen Wendepunkt hat. 

Aufgabe 3  Stochastik 3 𝕋  𝕃

Eine Urne enthält 15 weiße und 15 rote Kugeln. Aus dieser wird 16-mal mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable \(X\) gibt die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln an. Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\).

1. [1 BE] Gib den Erwartungswert von \(X\) an. 
2. [2 BE] Bestimme mit Hilfe von Werten aus der Abbildung näherungsweise die Wahrscheinlichkeit \(P(6\leq X\leq 7)\). 
3. [2 BE] Die Zufallsvariable \(Y\) gibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln an. Erläutere, warum die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) ebenfalls durch die Abbildung oben dargestellt werden kann. 

Aufgabe 4  Lineare Algebra 4 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(1|3|3),B(9|-1|-5),C(3|5|-5)\) und \(M(5|1|-1)\).

1.[2 BE] Weise folgende Sachverhalte nach:

1. 1. Der Punkt \(M\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(AB\).
   2. Die Vektoren \(\overrightarrow{AM}\) und \(\overrightarrow{MC}\) schließen einen rechten Winkel ein.
2. [3 BE] Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der doppelt so weit vom Punkt \(M\) entfernt ist wie vom Punkt \(C\)  .