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Lösung Analysis 1

Version 1.1 von akukin am 2024/11/30 14:50
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Teilaufgabe 1

Das Makro [detail] konnte nicht ausgeführt werden. Grund: [Missing macro content: this macro requires content (a body)]. Klicke auf diese Nachricht, um Details zu erfahren.

Erläuterung der Lösung Eine Nullstelle ist durch den Punkt \(N(4│0)\) gegeben. Da der Graph punktsymmetrisch sein soll, muss es bei \(x=-4\) ebenfalls eine Nullstelle geben. Zudem ist durch die Punktsymmetrie festgelegt, dass der Graph durch den Ursprung geht.
Da der Wertebereich \(W_f=[-2;2]\) ist, muss der Hochpunkt bei \(y=2\) liegen und der Tiefpunkt bei \(y=-2\). Die x-Koordinaten sind jedoch nicht bekannt, können also näherungsweise (jedoch symmetrisch) skizziert werden.
Durch die zusätzliche Information \(f^\prime (0)<0\) ist festgelegt, dass der Graph mit negativer Steigung durch den Ursprung verläuft. Folglich müssen der Hochpunkt links und der Tiefpunkt rechts liegen.

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont Möglicher Ansatz: \(g(x)=sin⁡(bx)\)
Periode: \(p=8 \implies b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\)
Damit: \(g(x)=sin⁡(\frac{\pi}{4}x)\)
Erläuterung der Lösung Die allgemeine Sinusfunktion hat den Term \(g(x)=a sin⁡(b(x-c))+d \)
Da die Amplitude nicht festgelegt ist, kann \(a=1\) gewählt werden. Eine Verschiebung ist auch nicht notwendig, also \(c=0\) und \(d=0 \).
Ein möglicher Ansatz lautet folglich: \(g(x)=sin⁡(bx) \)
Der Parameter \(b \) ist mit der Periode \(p\) der Sinuswelle verknüpft: \(b=\frac{2\pi}{p}\) Eine Wellenlänge geht von \(x_1=-4\) bis \(x_2=4 \). Die Periode ist also \(p=8\). Eingesetzt ergibt sich \(b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\).
Damit lautet die Funktionsgleichung: \(g(x)=sin⁡(\frac{\pi}{4}x)\)