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Lösung Analysis 1

Version 3.1 von akukin am 2024/11/30 15:57

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont GraphSkizze.png
Erläuterung der Lösung GraphSkizze.png

Eine Nullstelle ist durch den Punkt N(4|0) gegeben. Da der Graph punktsymmetrisch sein soll, muss es bei x=-4 ebenfalls eine Nullstelle geben. Zudem ist durch die Punktsymmetrie festgelegt, dass der Graph durch den Ursprung geht.

Da der Wertebereich W_f=[-2;2] ist, muss der Hochpunkt bei y=2 liegen und der Tiefpunkt bei y=-2. Die x-Koordinaten sind jedoch nicht bekannt, können also näherungsweise (jedoch symmetrisch) skizziert werden.

Durch die zusätzliche Information f^\prime (0)<0 ist festgelegt, dass der Graph mit negativer Steigung durch den Ursprung verläuft. Folglich müssen der Hochpunkt links und der Tiefpunkt rechts liegen.

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont Möglicher Ansatz: g(x)=\sin⁡(bx)
Periode: p=8 \implies b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}
Damit: g(x)=\sin\left⁡(\frac{\pi}{4}x\right)
Erläuterung der Lösung Die allgemeine Sinusfunktion hat den Term g(x)=a \sin⁡(b(x-c))+d
Da die Amplitude nicht festgelegt ist, kann a=1 gewählt werden. Eine Verschiebung ist auch nicht notwendig, also c=0 und d=0.
Ein möglicher Ansatz lautet folglich: g(x)=\sin⁡(bx)
Der Parameter b ist mit der Periode p der Sinuswelle verknüpft: b=\frac{2\pi}{p} Eine Wellenlänge geht von x_1=-4 bis x_2=4. Die Periode ist also p=8. Eingesetzt ergibt sich b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.
Damit lautet die Funktionsgleichung: g(x)=\sin⁡ \left(\frac{\pi}{4}x\right)