Lösung Analysis 5_2
Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/16 09:57
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(x_1=-2; \ x_2=1; \ x_3=2\)Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungGib die Nullstellen von \(f\) an.
LösungDer Satz des Nullprodukts besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn ein Faktor Null ist. Der erste Faktor wird Null für \(x=\pm 2\), der zweite Faktor für \(x=1\).
Folglich sind die Nullstellen:
\(x_1=-2; \ x_2=1; \ x_3=2\)
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont (offiziell)
\[\begin{align*}
f(x)&=x^3-x^2-4x+4 \\
f^\prime(x)&=3x^2-2x-4 \\
f(0)&=4; \ f^\prime(0)=-4 \\
t(x)&=-4x+4
\end{align*}\]
Aufgrund der Lage der Tangente muss der gemeinsame Punkt an einer der positiven Nullstellen von \(f\) liegen.
Man findet \(t(1)=f(1)=0\).
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungErmittle eine Gleichung der Tangente an \(K_f\) im Schnittpunkt von \(K_f\) mit der y-Achse. Zeige, dass diese Tangente mit \(K_f \) einen gemeinsamen Punkt auf der x-Achse hat.
LösungFür die Gleichung der Tangente wird ihre Steigung und ihr y-Achsenabschnitt benötigt. Die Steigung der Tangente ist die Ableitung von \(f\) an der Stelle, an der der Graph von \(f\) die Tangente berührt. Da die Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse an den Graphen von \(f\) angelegt werden soll, ist die Steigung der Tangente \(f^\prime(0)\).
\[\begin{align*}
f(x)&=x^3-x^2-4x+4 \\
f^\prime(x)&=3x^2-2x-4 \\
f^\prime(0)&=-4
\end{align*}\]
Die Gleichung der Tangente \(t\) lautet also:
\(t(x)=-4x+b\)
wobei \(b\) der y-Achsenabschnitt ist. Da die Tangente jedoch den Graphen genau am y-Achsenabschnitt berühren soll, müssen die beiden y-Achsenabschnitte gleich sein:
\(b=f(0)=4\)
Folglich ist die Tangentengleichung:
\(t(x)=-4x+4\)
Die Tangente schneidet die x-Achse bei \(x=1\), da \(t(1)=0\) ergibt. Bei \(x=1\) hat aber auch die Funktion \(f\) einen Schnittpunkt mit der x-Achse (siehe Teilaufgabe a)). Also haben Tangente und Graph von \(f\) den gemeinsamen Punkt \(S(1\mid 0)\).