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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra 5_3

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/16 09:57
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akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 <p>
4 {{formula}}A\cdot B=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&-2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right){{/formula}}
5 </p>
6 //Hinweis: Die Berechnung von {{formula}}B\cdot A{{/formula}} ist ebenso zulässig.//
7 {{/detail}}
8
9
10 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 //Aufgabenstellung//
12 <br><p>
13 Zeige rechnerisch, dass {{formula}}B{{/formula}} eine inverse Matrix zu {{formula}}A{{/formula}} ist.
14 </p>
15 //Lösung//
16 <br>
17 Zwei Matrizen sind invers zueinander, wenn ihr Produkt die Einheitsmatrix ergibt:
18 <br>
19 {{formula}}A\cdot B=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&1\\\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}-1&-1\\-3&-2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right){{/formula}}
20 <br><p>
21 Da dieses Produkt die Einheitsmatrix ergibt, ist {{formula}}B{{/formula}} eine inverse Matrix zu {{formula}}A{{/formula}}.
22 </p>
23 //Hinweis: Die Berechnung von {{formula}}B\cdot A{{/formula}} ist ebenso zulässig.//
24 {{/detail}}
25
26 === Teilaufgabe b) ===
27 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
28 Wie lauten die Koordinaten eines Vektors {{formula}}\vec{v}{{/formula}}, wenn das Produkt {{formula}}A\cdot\vec{v}{{/formula}} den Vektor {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right){{/formula}} ergibt?
29 {{/detail}}
akukin 2.1 30
31
32 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
33 //Aufgabenstellung//
34 <br><p>
35 Gib eine mögliche Fragestellung an, die durch die Lösung des folgenden Gleichungssystems beantwortet werden kann.
36
37 {{formula}}
akukin 3.1 38 \begin{align*}
akukin 2.1 39 2v_1-v_2&=1 \\
40 -3v_1+v_2&=2
akukin 3.1 41 \end{align*}
akukin 2.1 42 {{/formula}}
43 </p>
44 //Lösung//
akukin 2.2 45 <br><p>
46 Wendet man die Matrix {{formula}}A{{/formula}} auf den Vektor {{formula}}\vec{v}{{/formula}} an, so ergibt sich die linke Seite des Gleichungssystems:
47 </p><p>
akukin 2.1 48 {{formula}}A\cdot\vec{v}=\left(\begin{matrix} 2&-1\\-3&1\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}v_1\\v_2\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}2v_1-v_2\\-3v_1+v_2\\\end{matrix}\right){{/formula}}
akukin 2.2 49 </p><p>
akukin 2.1 50 Die linke Seite des Gleichungssystems muss gleich der rechten Seite sein. In Vektorschreibweise:
akukin 2.2 51 </p><p>
akukin 2.1 52 {{formula}}\left(\begin{matrix}2v_1-v_2\\-3v_1+v_2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right){{/formula}}
53 </p>
54 Also wäre eine mögliche Fragestellung:
55 <br>
56 Wie lauten die Koordinaten eines Vektors {{formula}}\vec{v}{{/formula}}, wenn das Produkt {{formula}}A\cdot\vec{v}{{/formula}} den Vektor {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\2\\\end{matrix}\right){{/formula}} ergibt?
57
58 {{/detail}}