Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(K_1\) verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von \(x\) im Funktionsterm von \(f\) positiv ist, stimmt das globale Verhalten von \(K_1\) nicht mit dem von \(K\) überein.
\(K_3\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von \(f\) sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von \(x\) aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von \(K_3\) nicht mit dem von \(K\) überein.
\(K_2\) verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. \(K_2\) ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von \(K_2\) mit dem von \(K\) überein.Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 \)
\(f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 \)
\(f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right)\)
\(f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right)\)Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont (offiziell)
\(f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0\)Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont (offiziell)
Wendetangente in \(x=0\): \(t_0(x)=\frac{4}{3}\)
Wendetangente in \(x=2\): \(t_2(x)=f^\prime(2)\cdot(x-2)+f(2);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\)
\(t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}\).Also ist \(P\) Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
Teilaufgabe e)
Erwartungshorizont (offiziell)
Flächeninhalt des gesamten Dreiecks \(PSW\): \(A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\vec{SP}\right|\cdot\left|\vec{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\)
Flächeninhalt des Teils des Dreiecks \(PSW\), der unterhalb von \(K\) liegt: \(A_u=\int_{0}^{2}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS}\ } =\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15}\)
Flächeninhalt des oberen Teils des Dreiecks \(PSW\): \(A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}\)