Lösung Aufgabe 1

=== Teilaufgabe a) ===

{{formula}}K_1{{/formula}} verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von {{formula}}x{{/formula}} im Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} positiv ist, stimmt das globale Verhalten von {{formula}}K_1{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.

5

6

{{formula}}K_3{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von {{formula}}x{{/formula}} aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_3{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.

7

8

{{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.

//Aufgabenstellung//

Einer der drei Graphen entspricht {{formula}}K{{/formula}}. Beurteile für jeden Graph, ob es sich um {{formula}}K{{/formula}} handeln kann.

16

[[image:GraphKOptionen.png||width="650" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

//Lösung//

{{formula}}K_1{{/formula}} verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von {{formula}}x{{/formula}} im Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} positiv ist, stimmt das globale Verhalten von {{formula}}K_1{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.

21

22

{{formula}}K_3{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von {{formula}}x{{/formula}} aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_3{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.

23

24

{{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.

25

26

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=== Teilaufgabe b) ===

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29

30

{{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}}

31

32

{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}}

33

34

{{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right){{/formula}}

35

36

{{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Berechne die Koordinaten aller Punkte, an denen {{formula}}K{{/formula}} eine waagrechte Tangente hat. Gib für jeden dieser Punkte an, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt.

//Lösung//

Neben der Funktionsgleichung von {{formula}}f{{/formula}} werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt:

48

49

{{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}}

50

51

An Extremstellen ist die erste Ableitung Null, da dort eine waagrechte Tangente angelegt werden kann:

52

53

{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}}

54

55

Mit Hilfe der zweiten und gegebenenfalls dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob diese Stellen Hochstellen, Tiefstellen oder Sattelstellen sind. Die y-Koordinate erhält man, wenn man den x-Wert in den Funktionsterm einsetzt.

56

57

{{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right){{/formula}}

58

59

(Ist an einer Stelle die erste und zweite Ableitung Null, die dritte aber nicht Null, so handelt es sich um eine Terrassenstelle/Sattelstelle.)

60

61

{{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}

62

63

(Ist an einer Stelle die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung positiv, d. h. der Graph dort linksgekrümmt, so handelt es sich um eine Tiefstelle.)

64

65

66

=== Teilaufgabe c) ===

67

68

{{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Weise nach, dass {{formula}}f{{/formula}} bei {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle hat.

//Lösung//

Dass {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle ist, lässt sich am einfachsten überprüfen, wenn man {{formula}}x=2{{/formula}} in den Funktionsterm einsetzt:

80

81

{{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}

82

83

84

=== Teilaufgabe d) ===

85

86

87

Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3} {{/formula}}

88

89

Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}t_2(x)=f^\prime(2)\cdot(x-2)+f(2);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}

90

91

{{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.

92

93

Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.

//Aufgabenstellung//

Neben dem Wendepunkt {{formula}}W\left(2\middle|0\right){{/formula}} besitzt {{formula}}K{{/formula}} einen weiteren Wendepunkt {{formula}}S\left(0\middle| f(0)\right){{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P\left(1|\frac{4}{3}\right){{/formula}} liegt oberhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.

101

102

Weise nach, dass sich die beiden Wendetangenten im Punkt {{formula}}P{{/formula}} schneiden.

//Lösung//

Hier empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen:

107

108

[[image:1d)Hinweis2.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

109

110

Die Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}} ist eine waagrechte Gerade, da {{formula}}S{{/formula}} ein Sattelpunkt ist: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}

111

112

Die Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}} kann mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung beschrieben werden (siehe Merkhilfe):

113

114

{{formula}}t_2(x)=f^\prime\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}

115

116

Wenn sich beide Tangenten in {{formula}}P{{/formula}} schneiden, muss die x-Koordinaten von {{formula}}P{{/formula}} eingesetzt in die Tangentengleichungen beide Male die y-Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} ergeben:

117

118

{{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.

119

120

Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.

121

122

123

=== Teilaufgabe e) ===

124

125

126

Flächeninhalt des gesamten Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}

127

128

Flächeninhalt des Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}, der unterhalb von {{formula}}K{{/formula}} liegt:

\begin{align*}

A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\

133

&=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15}

\end{align*}

Flächeninhalt des oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Das Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} wird von {{formula}}K{{/formula}} in zwei Teile geteilt. Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche oberhalb von {{formula}}K{{/formula}}.

//Lösung//

Auch hier kann eine Skizze sinnvoll sein. Gesucht ist der Inhalt der roten Teilfläche:

150

151

[[image:1e)Hinweis1.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

152

153

Das blaue Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} hat die Grundlinie {{formula}}SP{{/formula}} und die Höhe {{formula}}SO{{/formula}} ({{formula}}O{{/formula}} ist der Ursprung des Koordinatensystems). Flächeninhalt des gesamten blauen Dreiecks PSW ist also:

154

155

{{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}

156

157

Der Flächeninhalt des Teils des Dreiecks PSW, der unterhalb des Graphen von f liegt, ist das Integral von 0 bis 2, aber ohne den Flächeninhalt des grauen Dreiecks OWS:

\begin{align*}

A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\

162

&=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15}

\end{align*}

Der Flächeninhalt des roten, oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}} ist also:

167

168

{{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}

169

author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		3	<p>
		4	{{formula}}K_1{{/formula}} verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von {{formula}}x{{/formula}} im Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} positiv ist, stimmt das globale Verhalten von {{formula}}K_1{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
		5	</p><p>
		6	{{formula}}K_3{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von {{formula}}x{{/formula}} aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_3{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
		7	</p>
		8	{{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
		9	{{/detail}}
		10
		11
		12	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		13	//Aufgabenstellung//
		14	<br><p>
		15	Einer der drei Graphen entspricht {{formula}}K{{/formula}}. Beurteile für jeden Graph, ob es sich um {{formula}}K{{/formula}} handeln kann.
		16	[[image:GraphKOptionen.png\|\|width="650" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		17	</p>
		18	//Lösung//
		19	<br><p>
		20	{{formula}}K_1{{/formula}} verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von {{formula}}x{{/formula}} im Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} positiv ist, stimmt das globale Verhalten von {{formula}}K_1{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
		21	</p><p>
		22	{{formula}}K_3{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von {{formula}}f{{/formula}} sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von {{formula}}x{{/formula}} aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_3{{/formula}} nicht mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
		23	</p>
		24	{{formula}}K_2{{/formula}} verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. {{formula}}K_2{{/formula}} ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von {{formula}}K_2{{/formula}} mit dem von {{formula}}K{{/formula}} überein.
		25	{{/detail}}
		26
		27	=== Teilaufgabe b) ===
		28	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		29	<p>
		30	{{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}}
		31	</p><p>
		32	{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}}
		33	</p><p>
		34	{{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle\|\frac{4}{3}\right){{/formula}}
		35	</p>
		36	{{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle\|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}
		37	{{/detail}}
		38
		39
		40	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		41	//Aufgabenstellung//
		42	<br><p>
		43	Berechne die Koordinaten aller Punkte, an denen {{formula}}K{{/formula}} eine waagrechte Tangente hat. Gib für jeden dieser Punkte an, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt.
		44	</p>
		45	//Lösung//
		46	<br>
		47	Neben der Funktionsgleichung von {{formula}}f{{/formula}} werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt:
		48	<br><p>
		49	{{formula}}f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2 {{/formula}}
		50	</p>
		51	An Extremstellen ist die erste Ableitung Null, da dort eine waagrechte Tangente angelegt werden kann:
		52	<br><p>
		53	{{formula}}f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3 {{/formula}}
		54	</p>
		55	Mit Hilfe der zweiten und gegebenenfalls dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob diese Stellen Hochstellen, Tiefstellen oder Sattelstellen sind. Die y-Koordinate erhält man, wenn man den x-Wert in den Funktionsterm einsetzt.
		56	<br>
		57	{{formula}}f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle\|\frac{4}{3}\right){{/formula}}
		58	<br>
		59	(Ist an einer Stelle die erste und zweite Ableitung Null, die dritte aber nicht Null, so handelt es sich um eine Terrassenstelle/Sattelstelle.)
		60	<br>
		61	{{formula}}f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle\|-\frac{11}{12}\right){{/formula}}
		62	<br>
		63	(Ist an einer Stelle die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung positiv, d. h. der Graph dort linksgekrümmt, so handelt es sich um eine Tiefstelle.)
		64	{{/detail}}
		65
		66	=== Teilaufgabe c) ===
		67	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		68	{{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
		69	{{/detail}}
		70
		71
		72	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		73	//Aufgabenstellung//
		74	<br><p>
		75	Weise nach, dass {{formula}}f{{/formula}} bei {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle hat.
		76	</p>
		77	//Lösung//
		78	<br>
		79	Dass {{formula}}x=2{{/formula}} eine Nullstelle ist, lässt sich am einfachsten überprüfen, wenn man {{formula}}x=2{{/formula}} in den Funktionsterm einsetzt:
		80	<br>
		81	{{formula}}f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0{{/formula}}
		82	{{/detail}}
		83
		84	=== Teilaufgabe d) ===
		85	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		86	<p>
		87	Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}}: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3} {{/formula}}
		88	</p><p>
		89	Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}t_2(x)=f^\prime(2)\cdot(x-2)+f(2);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
		90	</p>
		91	{{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.
		92	<br>
		93	Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
		94	{{/detail}}
		95
		96
		97	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		98	//Aufgabenstellung//
		99	<br><p>
		100	Neben dem Wendepunkt {{formula}}W\left(2\middle\|0\right){{/formula}} besitzt {{formula}}K{{/formula}} einen weiteren Wendepunkt {{formula}}S\left(0\middle\| f(0)\right){{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P\left(1\|\frac{4}{3}\right){{/formula}} liegt oberhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
		101	<br>
		102	Weise nach, dass sich die beiden Wendetangenten im Punkt {{formula}}P{{/formula}} schneiden.
		103	</p>
		104	//Lösung//
		105	<br>
		106	Hier empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen:
		107	<br>
		108	[[image:1d)Hinweis2.png\|\|width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		109	<br><p>
		110	Die Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}} ist eine waagrechte Gerade, da {{formula}}S{{/formula}} ein Sattelpunkt ist: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
		111	</p>
		112	Die Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}} kann mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung beschrieben werden (siehe Merkhilfe):
		113	<br></p>
		114	{{formula}}t_2(x)=f^\prime\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
		115	</p><p>
		116	Wenn sich beide Tangenten in {{formula}}P{{/formula}} schneiden, muss die x-Koordinaten von {{formula}}P{{/formula}} eingesetzt in die Tangentengleichungen beide Male die y-Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} ergeben:
		117	</p>
		118	{{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.
		119	<br>
		120	Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
		121	{{/detail}}
		122
		123	=== Teilaufgabe e) ===
		124	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		125	<p>
		126	Flächeninhalt des gesamten Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left\|\overrightarrow{SP}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{SO}\right\|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}
		127	</p><p>
		128	Flächeninhalt des Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}, der unterhalb von {{formula}}K{{/formula}} liegt:
		129
		130	{{formula}}
		131	\begin{align*}
		132	A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\
		133	&=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15}
		134	\end{align*}
		135	{{/formula}}
		136
		137	</p>
		138	Flächeninhalt des oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
		139	{{/detail}}
		140
		141
		142	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		143	//Aufgabenstellung//
		144	<br><p>
		145	Das Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} wird von {{formula}}K{{/formula}} in zwei Teile geteilt. Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche oberhalb von {{formula}}K{{/formula}}.
		146	</p>
		147	//Lösung//
		148	<br>
		149	Auch hier kann eine Skizze sinnvoll sein. Gesucht ist der Inhalt der roten Teilfläche:
		150	<br>
		151	[[image:1e)Hinweis1.png\|\|width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		152	<br>
		153	Das blaue Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} hat die Grundlinie {{formula}}SP{{/formula}} und die Höhe {{formula}}SO{{/formula}} ({{formula}}O{{/formula}} ist der Ursprung des Koordinatensystems). Flächeninhalt des gesamten blauen Dreiecks PSW ist also:
		154	<br><p>
		155	{{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left\|\overrightarrow{SP}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{SO}\right\|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}
		156	</p>
		157	Der Flächeninhalt des Teils des Dreiecks PSW, der unterhalb des Graphen von f liegt, ist das Integral von 0 bis 2, aber ohne den Flächeninhalt des grauen Dreiecks OWS:
		158	<br>
		159	{{formula}}
		160	\begin{align*}
		161	A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\
		162	&=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15}
		163	\end{align*}
		164	{{/formula}}
		165	<br>
		166	Der Flächeninhalt des roten, oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}} ist also:
		167	<br>
		168	{{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
		169	{{/detail}}

Wiki-Quellcode von Lösung Aufgabe 1