2024 eAN - Teil B - Analysis - Aufgabensatz II

Aufgabe 1  Aufgabe 1 𝕋  𝕃

Für eine reelle Zahl \(a\) ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) gegeben durch \(f(x)=a\cdot x^2\cdot(x-4)\)
Der Graph von \(f\) ist \(K_f\).

1. Ermittle den Wert von \(a\). [2 BE]
2. Berechne die Koordinaten des Tiefpunktes von \(K_f\). [4 BE]
3. Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Wendetangente \(w\) an \(K_f\) die x-Achse schneidet. [5 BE]
4. Der Graph der in \(\mathbb{R}\) definierten Funktion \(s\) geht aus \(K_f\) durch Verschiebung um  \(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\)  in negative x-Richtung sowie eine Verschiebung in y-Richtung hervor. Es gilt \(s\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{16}{9}x\).
   Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von \(s^{\prime\prime}\), dass \(K_f\) an der Stelle 1 rechtsgekrümmt ist. [3 BE]
5. Der Ursprung, der Punkt \(P\left(u\middle|0\right)\) und der Punkt \(Q\left(u\middle| f(u)\right)\) bilden für \(0,5\le u\le3,5\) im 4. Quadranten ein Dreieck mit dem Flächeninhalt \(A(u)\).
   Erläutere die Bedeutung der Stelle \(u_1\), die mit folgender Rechnung ermittelt wird:
   \(A^\prime(u_1)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3\)
   Dabei gilt: \(A^{\prime\prime}(3)<0\)  und  \(A(0,5)<A(3)\) und \(A(3,5)<A(3)\) [3 BE]
6. Eine quadratische Funktion \(p\) hat dieselben Nullstellen wie \(f\). Die Graphen von \(p\) und \(f\) schließen im 4. Quadranten zwei gleich große Flächenstücke ein. [4 BE]
   Ermittle eine Gleichung von \(p\).
7. Begründe, dass die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(h\) mit \(h(x)=e^{f(x)}\) die gleichen Extremstellen wie die Funktion \(f\) hat.[2 BE]

Aufgabe 2  Aufgabe 2 𝕋  𝕃

Die Abbildung zeigt den Graphen \(K_g\) einer Funktion \(g\) im Definitionsbereich \(-4\le x\le4\).
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung. [6 BE]

(1) Die zugehörige Ableitungsfunktion \(g^\prime\) hat genau 5 Nullstellen.
(2) Es gilt:  \(\int_{0}^{4}{g(x)\mathrm{d} x>0}\)
(3) Die Integralfunktion \(J\) mit \(J(x)=\int_{0}^{x}{g(t)\mathrm{d} t}\) ist für \(0\le x\le4\) monoton wachsend. 

Aufgabe 3  Aufgabe 3 𝕋  𝕃

Die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(k\) mit \(k(t)=20\cdot t\cdot e^{-t} \ (t\geq0)\) beschreibt die Konzentration eines Medikamentes im Blut. Hierbei ist \(t\) die Zeit seit der Einnahme \((t=0)\) in Stunden. \(k(t)\) wird in Milligramm pro Liter \(\left(\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}\right)\) angegeben.

1. Zeichne den Graphen von \(k\) für \(0\le t\le10\). [3 BE]
2. Gib anhand der Zeichnung näherungsweise den Zeitpunkt an, zu welchem die Konzentration am stärksten abnimmt. [1 BE] 
3. Es gilt \(k^\prime(7)<0\) und \(k^{\prime\prime}(7)>0\). Erläutere die Bedeutung dieser beiden Aussagen hinsichtlich des Verlaufs des Graphen von \(k\).
   Interpretiere diese beiden Aussagen im Sachzusammenhang. [4 BE]
4. Ermittle näherungsweise eine Lösung der Gleichung \(k(t)-k(t+1)=1\) und interpretiere diese Lösung im Sachzusammenhang. [3 BE]