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Version 5.2 von akukin am 2024/12/31 17:27
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1 {{aufgabe id="Aufgabe 1" afb="" kompetenzen="" quelle="Abitur 2024" zeit="70"}}
2 [[image:GraphAufgabe1.png||width="250" style="float: right"]]
3 Für eine reelle Zahl {{formula}}a{{/formula}} ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} gegeben durch {{formula}}f(x)=a\cdot x^2\cdot(x-4){{/formula}}
4 Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist {{formula}}K_f{{/formula}}.
5
6 (% class="abc" %)
7 1. Ermittle den Wert von {{formula}}a{{/formula}}. **[2 BE]**
8 1. Berechne die Koordinaten des Tiefpunktes von {{formula}}K_f{{/formula}}. **[4 BE]**
9 1. Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Wendetangente {{formula}}w{{/formula}} an {{formula}}K_f{{/formula}} die x-Achse schneidet. **[5 BE]**
10 1. Der Graph der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}s{{/formula}} geht aus {{formula}}K_f{{/formula}} durch Verschiebung um {{formula}}\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}{{/formula}} in negative x-Richtung sowie eine Verschiebung in y-Richtung hervor. Es gilt {{formula}}s\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{16}{9}x{{/formula}}.
11 Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von {{formula}}s^{\prime\prime}{{/formula}}, dass {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle 1 rechtsgekrümmt ist. **[3 BE]**
12 1. Der Ursprung, der Punkt {{formula}}P\left(u\middle|0\right){{/formula}} und der Punkt {{formula}}Q\left(u\middle| f(u)\right){{/formula}} bilden für {{formula}}0,5\le u\le3,5{{/formula}} im 4. Quadranten ein Dreieck mit dem Flächeninhalt {{formula}}A(u){{/formula}}.
13 Erläutere die Bedeutung der Stelle {{formula}}u_1{{/formula}}, die mit folgender Rechnung ermittelt wird:
14 {{formula}}A^\prime(u_1)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3{{/formula}}
15 Dabei gilt: {{formula}}A^{\prime\prime}(3)<0{{/formula}} und {{formula}}A(0,5)<A(3){{/formula}} und {{formula}}A(3,5)<A(3){{/formula}} **[3 BE]**
16 1. Eine quadratische Funktion {{formula}}p{{/formula}} hat dieselben Nullstellen wie {{formula}}f{{/formula}}. Die Graphen von {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}f{{/formula}} schließen im 4. Quadranten zwei gleich große Flächenstücke ein.
17 Ermittle eine Gleichung von {{formula}}p{{/formula}}. **[4 BE]**
18 1. Begründe, dass die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}h(x)=e^{f(x)}{{/formula}} die gleichen Extremstellen wie die Funktion {{formula}}f{{/formula}} hat.**[2 BE]**
19 {{/aufgabe}}
20
21 {{aufgabe id="Aufgabe 2" afb="" kompetenzen="" quelle="Abitur 2024" zeit="18"}}
22 Die Abbildung zeigt den Graphen {{formula}}K_g{{/formula}} einer Funktion {{formula}}g{{/formula}} im Definitionsbereich {{formula}}-4\le x\le4{{/formula}}.
23 Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung. **[6 BE]**
24 [[image:GraphAufgabe2.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
25 (1) Die zugehörige Ableitungsfunktion {{formula}}g^\prime{{/formula}} hat genau 5 Nullstellen.
26 (2) Es gilt: {{formula}}\int_{0}^{4}{g(x)\mathrm{d} x>0}{{/formula}}
27 (3) Die Integralfunktion {{formula}}J{{/formula}} mit {{formula}}J(x)=\int_{0}^{x}{g(t)\mathrm{d} t}{{/formula}} ist für {{formula}}0\le x\le4{{/formula}} monoton wachsend.
28 {{/aufgabe}}
29
30 {{aufgabe id="Aufgabe 3" afb="" kompetenzen="" quelle="Abitur 2024" zeit="30"}}
31 Die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}k{{/formula}} mit {{formula}}k(t)=20\cdot t\cdot e^{-t} \ (t\geq0){{/formula}} beschreibt die Konzentration eines Medikamentes im Blut. Hierbei ist {{formula}}t{{/formula}} die Zeit seit der Einnahme {{formula}}(t=0){{/formula}} in Stunden. {{formula}}k(t){{/formula}} wird in Milligramm pro Liter {{formula}}\left(\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}\right){{/formula}} angegeben.
32 (% class="abc" %)
33 1. Zeichne den Graphen von {{formula}}k{{/formula}} für {{formula}}0\le t\le10{{/formula}}. **[3 BE]**
34 1. Gib anhand der Zeichnung näherungsweise den Zeitpunkt an, zu welchem die Konzentration am stärksten abnimmt. **[1 BE]**
35 1. Es gilt {{formula}}k^\prime(7)<0{{/formula}} und {{formula}}k^{\prime\prime}(7)>0{{/formula}}. Erläutere die Bedeutung dieser beiden Aussagen hinsichtlich des Verlaufs des Graphen von {{formula}}k{{/formula}}.
36 Interpretiere diese beiden Aussagen im Sachzusammenhang. **[4 BE]**
37 1. Ermittle näherungsweise eine Lösung der Gleichung {{formula}}k(t)-k(t+1)=1{{/formula}} und interpretiere diese Lösung im Sachzusammenhang. **[3 BE]**
38 {{/aufgabe}}