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2024 eAN - Teil B - Analysis - Aufgabensatz II

Version 5.2 von akukin am 2024/12/31 17:27

GraphAufgabe1.png
Für eine reelle Zahl a ist die in \mathbb{R} definierte Funktion f gegeben durch f(x)=a\cdot x^2\cdot(x-4)
Der Graph von f ist K_f.

  1. Ermittle den Wert von a. [2 BE]
  2. Berechne die Koordinaten des Tiefpunktes von K_f. [4 BE]
  3. Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Wendetangente w an K_f die x-Achse schneidet. [5 BE]
  4. Der Graph der in \mathbb{R} definierten Funktion s geht aus K_f durch Verschiebung um  \frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}  in negative x-Richtung sowie eine Verschiebung in y-Richtung hervor. Es gilt s\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{16}{9}x.
    Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von s^{\prime\prime}, dass K_f an der Stelle 1 rechtsgekrümmt ist. [3 BE]
  5. Der Ursprung, der Punkt P\left(u\middle|0\right) und der Punkt Q\left(u\middle| f(u)\right) bilden für 0,5\le u\le3,5 im 4. Quadranten ein Dreieck mit dem Flächeninhalt A(u).
    Erläutere die Bedeutung der Stelle u_1, die mit folgender Rechnung ermittelt wird:
    A^\prime(u_1)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3
    Dabei gilt: A^{\prime\prime}(3)<0  und  A(0,5)<A(3) und A(3,5)<A(3) [3 BE]
  6. Eine quadratische Funktion p hat dieselben Nullstellen wie f. Die Graphen von p und f schließen im 4. Quadranten zwei gleich große Flächenstücke ein.
    Ermittle eine Gleichung von p. [4 BE]
  7. Begründe, dass die in \mathbb{R} definierte Funktion h mit h(x)=e^{f(x)} die gleichen Extremstellen wie die Funktion f hat.[2 BE]
AFB   k.A.Kompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   70 min
Quelle   Abitur 2024Lizenz   k.A.

Die Abbildung zeigt den Graphen K_g einer Funktion g im Definitionsbereich -4\le x\le4.
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung. [6 BE]
GraphAufgabe2.png
(1) Die zugehörige Ableitungsfunktion g^\prime hat genau 5 Nullstellen.
(2) Es gilt:  \int_{0}^{4}{g(x)\mathrm{d} x>0}
(3) Die Integralfunktion J mit J(x)=\int_{0}^{x}{g(t)\mathrm{d} t} ist für 0\le x\le4 monoton wachsend. 

AFB   k.A.Kompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   18 min
Quelle   Abitur 2024Lizenz   k.A.

Die in \mathbb{R} definierte Funktion k mit k(t)=20\cdot t\cdot e^{-t} \ (t\geq0) beschreibt die Konzentration eines Medikamentes im Blut. Hierbei ist t die Zeit seit der Einnahme (t=0) in Stunden. k(t) wird in Milligramm pro Liter \left(\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}\right) angegeben.

  1. Zeichne den Graphen von k für 0\le t\le10. [3 BE]
  2. Gib anhand der Zeichnung näherungsweise den Zeitpunkt an, zu welchem die Konzentration am stärksten abnimmt. [1 BE] 
  3. Es gilt k^\prime(7)<0 und k^{\prime\prime}(7)>0. Erläutere die Bedeutung dieser beiden Aussagen hinsichtlich des Verlaufs des Graphen von k.
    Interpretiere diese beiden Aussagen im Sachzusammenhang. [4 BE]
  4. Ermittle näherungsweise eine Lösung der Gleichung k(t)-k(t+1)=1 und interpretiere diese Lösung im Sachzusammenhang. [3 BE]
AFB   k.A.Kompetenzen   k.A.Bearbeitungszeit   30 min
Quelle   Abitur 2024Lizenz   k.A.