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Wiki-Quellcode von Lösung Aufgabe 3

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 23:39
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 [[image:LösungGraphAufgabe3a).png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 //Aufgabenstellung//
9 <br><p>
10 Zeichne den Graphen von {{formula}}k{{/formula}} für {{formula}}0\le t\le10{{/formula}}.
11 </p>
12 //Lösung//
13 <br>
14 Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird.
15 [[image:LösungGraphAufgabe3a).png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
16 {{/detail}}
17
18 === Teilaufgabe b) ===
19 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
20 {{formula}}t\approx2{{/formula}}
21 {{/detail}}
22
23
24 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
25 //Aufgabenstellung//
26 <br><p>
27 Gib anhand der Zeichnung näherungsweise den Zeitpunkt an, zu welchem die Konzentration am stärksten abnimmt.
28 </p>
29 //Lösung//
30 <br>
31 Gesucht ist die Zeit, an der der Graph von {{formula}}k{{/formula}} am steilsten bergab geht.
32 <br>
33 {{formula}}t\approx2{{/formula}}
34 {{/detail}}
35
36 === Teilaufgabe c) ===
37 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
38 {{formula}}k^\prime\left(7\right)<0{{/formula}}: Bei {{formula}}t=7{{/formula}} liegt eine negative Steigung des Graphen vor.
39 <br><p>
40 {{formula}}k^{\prime\prime}\left(7\right)>0{{/formula}}: Bei {{formula}}t=7{{/formula}} ist der Graph linksgekrümmt.
41 </p>
42 Interpretation:
43 <br>
44 7 Stunden nach der Einnahme nimmt die Konzentration des Medikamentes im Blut ab und die Geschwindigkeit der Abnahme sinkt.
45 {{/detail}}
46
47
48 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
49 //Aufgabenstellung//
50 <br><p>
51 Es gilt {{formula}}k^\prime(7)<0{{/formula}} und {{formula}}k^{\prime\prime}(7)>0{{/formula}}. Erläutere die Bedeutung dieser beiden Aussagen hinsichtlich des Verlaufs des Graphen von {{formula}}k{{/formula}}.
52 Interpretiere diese beiden Aussagen im Sachzusammenhang.
53 </p>
54 //Lösung//
55 <br>
56 {{formula}}k^\prime\left(7\right)<0{{/formula}}: Bei {{formula}}t=7{{/formula}} liegt eine negative Steigung des Graphen vor.
57 <br><p>
58 {{formula}}k^{\prime\prime}\left(7\right)>0{{/formula}}: Bei {{formula}}t=7{{/formula}} ist der Graph linksgekrümmt.
59 </p>
60 Interpretation:
61 <br>
62 7 Stunden nach der Einnahme nimmt die Konzentration des Medikamentes im Blut ab, da die erste Ableitung negativ ist, und die Geschwindigkeit der Abnahme sinkt, da die Änderungsrate der ersten Ableitung, also die zweite Ableitung, positiv ist.
63 {{/detail}}
64
65 === Teilaufgabe d) ===
66 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
67 <p>
68 Näherung mit WTR: {{formula}}t_1\approx0,75; \ t_2\approx3,66{{/formula}}
69 </p>
70 //Hinweis: Eine grafische Ermittlung der Zeitpunkte ist ebenfalls zulässig.//
71 <br>
72 Innerhalb der den genannten Zeitpunkten folgenden Stunde verringert sich die Konzentration näherungsweise um 1 {{formula}}\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}{{/formula}}.
73 {{/detail}}
74
75
76 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
77 //Aufgabenstellung//
78 <br><p>
79 Ermittle näherungsweise eine Lösung der Gleichung {{formula}}k(t)-k(t+1)=1{{/formula}} und interpretiere diese Lösung im Sachzusammenhang.
80 </p>
81 //Lösung//
82 <br><p>
83 Gesucht ist ein Zeitpunkt, ab dem innerhalb von einer Stunde die Konzentration um {{formula}}1 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}{{/formula}} abnimmt.
84 </p>
85 Man kann mit dem Geodreieck den Graphen abgehen und überprüfen, in welchem horizontalen 1-cm-Intervall der Graph um 1 cm absinkt (grüne Dreiecke).
86 <br><p>
87 [[image:LösungAufgabe3d).png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
88 </p>
89 Die obige Gleichung kann aber auch mit Hilfe des Taschenrechners näherungsweise gelöst werden (Wertetabelle):
90 <br>
91 Näherung mit WTR: {{formula}}t_1\approx0,75; \ t_2\approx3,66{{/formula}}
92 <br>
93 Interpretation:
94 <br>
95 Innerhalb der den genannten Zeitpunkten folgenden Stunde verringert sich die Konzentration näherungsweise um {{formula}}1 \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}{{/formula}}.
96
97
98 {{/detail}}