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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 1.1 von akukin am 2025/01/24 20:33
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3
4 {{/detail}}
5
6
7 === Teilaufgabe b) ===
8 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
9 {{formula}}D(0|0|0),E(5|0|2),H(0|0|2){{/formula}}
10 <br>
11 {{formula}}A_{BCGF}=5\cdot 2=10{{/formula}}
12 <br>
13 {{formula}}A_{ABFE}=2\cdot 2=4{{/formula}}
14 <br>
15 {{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}
16 <br>
17 {{formula}}A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 {{/formula}}
18 <br>
19 {{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot (10+4+0,5+5,59)=40,18{{/formula}}
20 <br>
21 {{formula}}40,18\cdot 10=401,8{{/formula}}
22 <br>
23 Das benötigte Glas wiegt {{formula}}401,8\text{kg}{{/formula}}.
24 {{/detail}}
25
26 === Teilaufgabe c) ===
27 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
28 {{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
29 <br>
30 {{formula}}cos(\alpha)=\frac{(\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot (\left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ α\approx 26,57^\circ{{/formula}}
31 {{/detail}}
32
33 === Teilaufgabe d) ===
34 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
35 Ebene {{formula}}E{{/formula}}, in der das Sonnensegel liegt:
36 <br>
37 {{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS} \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
38 <br>
39 {{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}
40 {{formula}}x_3=2-0,5⋅0,5=1,75<1,8 \ \text{(m)}{{/formula}} (d. h. der Baumstumpf muss gekürzt werden)
41 {{/detail}}
42
43 === Teilaufgabe e) ===
44 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
45 {{formula}}\overrightarrow{FS}= (\left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right);|\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}
46 <br>
47 {{formula}}\overrightarrow{GS}= (\left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}
48 <br>
49 {{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}
50 {{/detail}}
51
52 === Teilaufgabe f) ===
53 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
54 {{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
55 <br>
56 {{formula}}|\overrightarrow{FP_k}|=|\overrightarrow{GF}| \ \Leftrightarrow \ 5=\sqrt{4,25+(k-2)^2 }{{/formula}}
57 <br>
58 {{formula}}0=k^2-4k-16,75{{/formula}}
59 <br>
60 {{formula}}k_1\approx 6,56; \ k_2\approx-2,56{{/formula}}
61 <br>
62 D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.
63 <br><p>
64 Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant.
65 </p>
66 Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}.
67 {{/detail}}
68
69 === Teilaufgabe g) ===
70 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
71 Mit dem Ansatz kann die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
72 {{/detail}}