Zum Inhalt springen

Lösung Lineare Algebra

Version 2.1 von akukin am 2025/01/24 20:34
Warnung
Aus Sicherheitsgründen wird das Dokument in einem eingeschränkten Modus angezeigt, da es sich nicht um die aktuelle Version handelt. Dadurch kann es zu Abweichungen und Fehlern kommen.

Teilaufgabe a)

Das Makro [detail] konnte nicht ausgeführt werden. Grund: [Missing macro content: this macro requires content (a body)]. Klicke auf diese Nachricht, um Details zu erfahren.

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell) \(D(0|0|0),E(5|0|2),H(0|0|2)\)
\(A_{BCGF}=5\cdot 2=10\)
\(A_{ABFE}=2\cdot 2=4\)
\(A_{EFI}=\frac{1}{2}0,5\cdot 2=0,5\)
\(A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 \)
\(A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot (10+4+0,5+5,59)=40,18\)
\(40,18\cdot 10=401,8\)
Das benötigte Glas wiegt \(401,8\text{kg}\).

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont (offiziell) \(\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\)
\(cos(\alpha)=\frac{(\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot (\left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ α\approx 26,57^\circ\)

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont (offiziell) Ebene \(E\), in der das Sonnensegel liegt:
\(E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS} \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}\)
\(2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5\) \(x_3=2-0,5⋅0,5=1,75<1,8 \ \text{(m)}\) (d. h. der Baumstumpf muss gekürzt werden)

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont (offiziell) \(\overrightarrow{FS}= (\left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right);|\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}\)
\(\overrightarrow{GS}= (\left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}\)
\(|\overrightarrow{FG}|=5\)

Teilaufgabe f)

Erwartungshorizont (offiziell) \(\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right)\)
\(|\overrightarrow{FP_k}|=|\overrightarrow{GF}| \ \Leftrightarrow \ 5=\sqrt{4,25+(k-2)^2 }\)
\(0=k^2-4k-16,75\)
\(k_1\approx 6,56; \ k_2\approx-2,56\)
D. h. für \(k_1\) ist \(FGP_k\) gleichschenklig.

Die Lösung \(k_2\) ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant.

Alternativ: Ansatz \(|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|\) möglich mit \(k_1\approx5,97\).

Teilaufgabe g)

Erwartungshorizont (offiziell) Mit dem Ansatz kann die \(x_1\)-Koordinate des Punktes \(T(t|4|3)\), der von den beiden Punkten \(B\) und \(G\) denselben Abstand hat, bestimmt werden.