Lösung Stochastik

Version 3.1 von akukin am 2025/01/23 22:57

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont(offiziell)

$P(E_1 )=0,91^{19}\cdot 0,09\approx 0,015$

: Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen.

ist binomialverteilt mit n=20

und

.
$P(E_2)=P(X=18)\approx 0,282$
$0,7\cdot 20=14$
$P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987$

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung
Es werden nacheinander 20 zufällig ausgewählte Testpersonen befragt.
Berechne für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
E_1

: Nur die dritte Testperson verträgt das Produkt nicht.
E_2

: Genau 18 Testpersonen vertragen das Produkt.

E_3 : Mindestens 70% der Testpersonen vertragen das Produkt.

Lösung

: Die erste Person verträgt das Produkt, die zweite auch, die dritte nicht, aber alle nachfolgenden schon.

$P(E_1 )=0,91\cdot 0,91\cdot 0,09\cdot 0,91\cdot 0,91 \hdots =0,91^{19}\cdot 0,09\approx 0,015$

E_2 : Die Zufallsgröße : „Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen“ ist binomialverteilt mit n=20 und p=0,91 .
$P(E_2 )=P(X=18)\approx 0,282$ (Taschenrechner: binomialpdf)

: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70% von 20 Personen ist.
$0,7\cdot 20=14$
$P(E_3 )=P(X\geq 14)$
Da der Taschenrechner nur $P(X\leq m)$ berechnen kann, also über alle P(X=k)

von

bis

aufsummiert, muss $P(X\geq 14)$ noch umformuliert werden.
$P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987$ (Taschenrechner: binomialcdf)

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont(offiziell)

: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen.

ist binomialverteilt mit n=200

und

.
$\mu=18$
$P(14\leq Y \leq 22)=P(Y\leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308 \approx 0,735$

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

200 Personen nutzen das Pflegeprodukt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen, zwischen 14 und 22 liegt.

Lösung

: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit $n=200,\ p=0,09$ )
Gesucht ist $P(14\leq Y\leq 22)$ .
Da der Taschenrechner nur $P(X\leq m)$ berechnen kann, also über alle P(X=k)

von

bis

aufsummiert, muss $P(14\leq Y\leq 22)$ noch umformuliert werden.
$P(14\leq Y\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308\approx 0,735$

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont(offiziell)

		$\overline{A}$	$\sum$
	0,0055	0,035	0,0405
$\overline{I}$	0,0495	0,91	0,9595
$\sum$	0,055	0,945	1

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Übertrage die Vierfeldertafel auf dein Blatt und vervollständige diese.
(zur Kontrolle: $P(A\cap I)=0,0055$ )

Lösung

		$\overline{A}$	$\sum$
	0,0055₃	0,035₆	0,0405₅
$\overline{I}$	0,0495₂	0,91	0,9595₄
$\sum$	0,055₁	0,945₇	1

Schwarz: Angabe direkt aus dem Text: P(A)=0,055

Rot: „Von diesen haben 90% keine Irritation“: $\textcolor{red}{P_A (\overline{I})=0,9}$
Pfadregel: $\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= 0,0495}$

Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)

Die Indizes geben die Reihenfolge der Bestimmung der Einträge wieder.

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont(offiziell)

Es ist $P(A\cap I)=0,0055$ .
Mit $P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055$ folgt die stochastische Abhängigkeit.

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont(offiziell)

$P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845$ .

Teilaufgabe f)

Erwartungshorizont(offiziell)

: Allergie;

: Irritation
$P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136$

Teilaufgabe g)

Erwartungshorizont(offiziell)

Zufallsvariable

: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen

: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen

	keine Rückgabe	Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit	Rückgabe aus sonstigen Gründen

$\mu=6,50$
$9\cdot (0,91-a)-0,5\cdot a-0,5\cdot 0,09=6,5 \ \implies \ a \approx 0,173$
Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht.