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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis Aufgabe 2

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/25 17:07
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 In der Abbildung ist bei Untersuchung der Flächenstücke unterhalb und oberhalb des Graphen erkennbar:
4 <br>
5 {{formula}}\int_0^9 w(t)\mathrm dt > 0{{/formula}}
6 <br>
7 Damit fließt im betrachteten Zeitraum mehr Wasser zu als ab.
8 {{/detail}}
9
10
11 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
12 //Aufgabenstellung//
13 <br><p>
14 Begründe, dass neun Stunden nach Beginn der Beobachtung mehr Wasser im Tank ist als zu Beginn.
15
16 </p>
17
18 //Lösung//
19 <br>
20 Aus der Abbildung ist zu erkennen, dass die Flächenanteile des Graphen oberhalb der {{formula}}t{{/formula}}-Achse (etwa 17,5 Kästchen) größer sind als die Flächenanteile unterhalb der {{formula}}t{{/formula}}-Achse (etwa 5 Kästchen).
21 <br>
22 Damit gilt:
23 <br>
24 {{formula}}\int_0^9 w(t)\mathrm dt > 0{{/formula}}.
25 <br>
26 Folglich fließt im betrachteten Zeitraum insgesamt mehr Wasser zu als ab und es befindet sich neun Stunden nach Beginn mehr Wasser im Tank als zu Beginn.
27 {{/detail}}
28
29 === Teilaufgabe b) ===
30 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
31 Periodenlänge: {{formula}}16{{/formula}}, Tiefpunkt bei {{formula}}(1\mid -1){{/formula}}, Amplitude: {{formula}}2{{/formula}}
32 <br>
33 z.B.:
34 {{formula}}w(t)=-2\cdot \cos\left(\frac{2\pi}{16}(t-1)\right)+1
35 =-2\cdot \cos \left(\frac{\pi}{8}(t-1)\right)+1{{/formula}}
36 {{/detail}}
37
38
39 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
40 //Aufgabenstellung//
41 <br><p>
42 Die Funktion {{formula}} w {{/formula}} ist eine trigonometrische Funktion.
43 Ermittle einen möglichen Funktionsterm dieser Funktion.
44
45 </p>
46
47 //Lösung//
48 <br>
49 Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen trigonometrischer Funktionsterme lautet {{formula}}w(t)=a\cdot \cos(b\cdot (t-c))+d{{/formula}} (bzw. {{formula}}w(t)=a\cdot \sin(b\cdot (t-c))+d{{/formula}})
50 <p></p>
51 Aus dem Graphen lassen sich folgende Eigenschaften ablesen:
52 <br>
53
54 Die Periodenlänge {{formula}}p{{/formula}} beträgt {{formula}}16{{/formula}}. Somit ist {{formula}}b=\frac{2\pi}{p}=\frac{2\pi}{16}=\frac{\pi}{8}{{/formula}}.
55
56 <br>
57
58 Der Tiefpunkt liegt bei {{formula}}(1\mid -1){{/formula}} und der Hochpunkt bei {{formula}}(9\mid 3){{/formula}}.
59 <br>
60 Die Amplitude ist somit gegeben durch {{formula}}a=\frac{3-(-1)}{2}=2{{/formula}}.
61 <br>
62 Die Verschiebung in y-Richtung beträgt {{formula}}d=\frac{3+(-1)}{2}=1{{/formula}}.
63 <br>
64 Gehen wir von einer Kosinusfunktion aus, so ist die Phasenverschiebung {{formula}}c{{/formula}} gegeben durch {{formula}}c=1{{/formula}}. Zudem ist die Funktion an der {{formula}}t{{/formula}}-Achse gespiegelt.
65 <p></p>
66 Ein passender Funktionsterm wäre somit:
67 <br>
68 {{formula}}w(t)=-2\cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}(t-1)\right)+1{{/formula}}.
69
70 {{/detail}}