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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 20:23
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}} \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}=12+4-16=0{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 Wir berechnen das Skalarprodukt der von Punkt {{formula}}C{{/formula}} ausgehenden Vektoren, um nachzuweisen, dass bei {{formula}}C{{/formula}} ein rechter Winkel ist:
9 <br>
10 {{formula}} \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}=2\cdot 6+ 1\cdot 4+ (-2)\cdot 8=12+4-16=0{{/formula}}
11 <br>
12 Da das Skalarprodukt 0 ist, stehen die beiden Vektoren im rechten Winkel zu einander.
13 {{/detail}}
14
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16 === Teilaufgabe b) ===
17 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
18 Skizze eines möglichen Parallelogramms:
19 <br>
20 [[image:LösungSkizze.png||width="300"]]
21 <br>
22 Kein Rechteck erhält man z. B. für
23 <p>
24 {{formula}} \vec{p} = \vec{c}+\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 14 \end{pmatrix}, \ P(7|1|14) {{/formula}}
25 </p>
26 Anmerkung: Eine weitere Lösung ist {{formula}}\vec{p} = \vec{c}-\overrightarrow{AB} , \ P( −\!1 | −\!5 | −\!6){{/formula}}
27 {{/detail}}
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29
30 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
31 Skizze eines möglichen Parallelogramms:
32 <br>
33 [[image:LösungSkizze.png||width="300"]]
34 <br>
35 Um ein Parallelogramm zu erhalten, das kein Rechteck ist, muss der Punkt {{formula}}P{{/formula}} so platziert werden, dass die Strecke von {{formula}}C{{/formula}} zu {{formula}}P{{/formula}} dieselbe Richtung und Länge hat, wie die Strecke von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}B{{/formula}}.
36 <br>
37 Die Koordinaten des Punktes {{formula}}P{{/formula}} erhält man nun, indem man vom Punkt {{formula}}C{{/formula}} ausgehend den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} anhängt:
38 <br><p>
39 {{formula}} \vec{p} = \vec{c}+\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 14 \end{pmatrix}, \ P(7|1|14) {{/formula}}
40 </p>
41 Anmerkung: Eine weitere Lösung ist
42 <br>
43 {{formula}}\vec{p} = \vec{c}-\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix} , \ P( −\!1 | −\!5 | −\!6){{/formula}}
44 {{/detail}}