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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra 5_3

Version 2.1 von akukin am 2026/01/26 15:00
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}(1|-4|a)\in E \ \Leftrightarrow \ 2-(-4)+2a=4 \ \Leftrightarrow \ a=-1{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 //Aufgabenstellung//
9 <br><p>
10 Eine zur Ebene {{formula}} E {{/formula}} parallele Gerade {{formula}} g {{/formula}} ist für eine reelle Zahl {{formula}} a {{/formula}} gegeben durch {{formula}} g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ -4\\ a\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}3\\ 8\\ 1\end{pmatrix}; s\in\mathbb{R}. {{/formula}}
11 <br>
12 Bestimme den Wert von {{formula}} a {{/formula}} so, dass {{formula}} g {{/formula}} in {{formula}} E {{/formula}} liegt.
13 </p>
14 //Lösung//
15 <br>
16 Damit {{formula}} g {{/formula}} in {{formula}} E {{/formula}} liegt, muss der Stützvektor der Geraden die Ebenengleichung erfüllen.
17 <br>
18 Wir setzen also den Stützpunkt {{formula}}(1\mid -4\mid a){{/formula}} in die Ebenengleichung {{formula}}2x_1-x_2+2x_3=4{{/formula}} ein und lösen nach {{formula}}a{{/formula}} auf:
19
20 <br>
21 {{formula}}
22 \begin{align*}
23 2\cdot 1-(-4)+2a&=4 \\
24 \Leftrightarrow 6+2a&=4 &&\mid -6\\
25 \Leftrightarrow 2a&=-2 &&\mid :2\\
26 \Leftrightarrow \ \ a&=-1
27 \end{align*}
28 {{/formula}}
29
30 {{/detail}}
31
32 === Teilaufgabe b) ===
33 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
34 {{formula}}E{{/formula}} schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten {{formula}}S_1(2 \mid 0 \mid 0){{/formula}}, {{formula}}S_2(0 \mid -4 \mid 0){{/formula}} und {{formula}}S_3(0 \mid 0 \mid 2){{/formula}}.
35 <br>
36 Das Dreieck {{formula}}S_1S_2S_3{{/formula}} wird z.B. von der Geraden durch {{formula}}S_2{{/formula}} und den Mittelpunkt von {{formula}}S_1S_3{{/formula}} halbiert.
37 <p></p>
38
39 Gleichung:{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} ; \quad t \in \mathbb{R}{{/formula}}
40 {{/detail}}
41
42
43 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
44 //Aufgabenstellung//
45 <br><p>
46 Die Schnittpunkte von {{formula}} E {{/formula}} mit den Koordinatenachsen bilden die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks.
47 <br>
48 Ermittle die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.
49 </p>
50 //Lösung//
51 <br>
52 Wir bestimmen die Schnittpunkte von {{formula}} E {{/formula}} mit den Koordinatenachsen indem wir jeweils zwei der Koordinaten gleich null setzen:
53 * Schnittpunkt mit {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse ({{formula}}x_2=0, x_3=0{{/formula}}): {{formula}}2x_1 = 4 \ \Leftrightarrow \ x_1 = 2 \rightarrow S_1(2 \mid 0 \mid 0){{/formula}}
54 * Schnittpunkt mit {{formula}}x_2{{/formula}}-Achse ({{formula}}x_1=0, x_3=0{{/formula}}): {{formula}}-x_2 = 4 \ \Leftrightarrow \ x_2 = -4 \rightarrow S_2(0 \mid -4 \mid 0){{/formula}}
55 * Schnittpunkt mit {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse ({{formula}}x_1=0, x_2=0{{/formula}}): {{formula}}2x_3 = 4 \ \Leftrightarrow \ x_3 =2 \rightarrow S_3(0 \mid 0 \mid 2){{/formula}}
56
57 <p></p>
58 Das Dreieck {{formula}}S_1S_2S_3{{/formula}} wird z.B. von der Geraden durch {{formula}}S_2{{/formula}} und den Mittelpunkt von {{formula}}S_1S_3{{/formula}} halbiert.
59 Der Mittelpunkt von {{formula}}S_1S_3{{/formula}} ist {{formula}}M\left(\frac{2+0}{2}|0|\frac{2+0}{2}\right)=M(1|0|1){{/formula}}.
60 <p></p>
61 Die Geradengleichung durch die Punkte {{formula}}S_2(0|-4|0){{/formula}} und {{formula}}M(1|0|1){{/formula}} lautet:
62 <br>
63 {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} ; \quad t \in \mathbb{R}{{/formula}}
64
65 <br>
66 Mit dem Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OS_2}=\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und dem Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{S_2M}=\begin{pmatrix} 1-0 \\ 0-(-4) \\ 1-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
67 <br>
68 {{/detail}}