2025 eAN - Teil B - Analysis - Aufgabensatz I

Aufgabe 1  Analysis - Lehrerauswahl I 𝕃

Der Graph \( K_g \) einer in \( \mathbb{R} \) definierten quadratischen Funktion \( g \) schneidet die y-Achse im Punkt \( S_y(0|1) \). In diesem Punkt hat \( K_g \) die Steigung \( -\frac{4}{3} \). Der Tiefpunkt von \( K_g \) hat die x-Koordinate \(2\).

1. [4 BE] Bestimme eine Gleichung der Funktion \( g \).

   (Zur Kontrolle: \( g(x)=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x+1 \)).

2. [3 BE] Zeichne \( K_{g} \) im Bereich \( -2\le x\le6 \).
3. [4 BE] Berechne den Inhalt der Fläche, die \( K_{g} \) mit der x-Achse einschließt.

Die Funktion \( f \) ist für \( x\in \mathbb{R} \) definiert durch \( f(x)=\left(\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x+1\right)\cdot e^{x} \).
Der Graph von \( f \) ist \( K_{f} \).
Die Funktion \( F \) ist für \( x\in \mathbb{R} \) definiert durch \( F(x)=\frac{1}{3}\cdot(x^{2}-6x+9)\cdot e^{x} \).

4. [3 BE] Zeige, dass \( F \) eine Stammfunktion von \( f \) ist.
5. [6 BE] Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen \( K_{F} \) der Funktion \( F \).
   Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von \( K_{F} \).
   (1) \( K_{f} \) besitzt genau einen Extrempunkt im Intervall \([-2; 3]\).
   (2) Es gilt: \( f(2{,}5)=-1 \)
   (3) Es gilt: \( f'(1{,}5)<0 \)
   

Der Graph der Funktion \( h \) entsteht, indem \( K_{f} \) zuerst um 1 nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt wird.

6. [5 BE] Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind:
   (1) Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle.
   (2) Die Funktion \( H \) mit \( H(x)=-F(-x-1) \) ist eine Stammfunktion von \( h \).

Die folgende Abbildung zeigt den Graphen \( K_{H} \) einer Stammfunktion \( H \) von \( h \) für \( x\ge0 \).
Die positive x-Achse ist Asymptote von \( K_{H} \). Zudem ist \( K_{H} \) in diesem Bereich streng monoton steigend.

7. [5 BE] Die Integralfunktion \( I_{0} \) ist definiert durch \( I_{0}(x)=\int_{0}^{x}h(t) \mathrm{d}t \).
   Begründe mit Hilfe von \( K_{H} \), dass \( I_{0}(100)<2{,}1 \).