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Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 Ansatz:
4 {{formula}}
5 g(x) = ax^2 + bx + c; \ g^\prime(x) = 2ax + b
6 {{/formula}}
7 <br>
8 {{formula}}
9 g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
10 {{/formula}}
11 <br>
12 {{formula}}
13 g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
14 {{/formula}}
15 <br>
16 {{formula}}
17 g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3},
18 {{/formula}} also {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
19 {{/formula}}
20 {{/detail}}
21
22
23 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24 //Aufgabenstellung//
25 <br><p>
26 Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
27 </p>
28 //Lösung//
29 <br>
30 Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
31 <br>
32 {{formula}}
33 g(x) = ax^2 + bx + c
34 {{/formula}}
35 <p></p>
36 Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
37
38 * Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}:
39 {{formula}}
40 g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
41 {{/formula}}
42 * Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad
43 g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
44 {{/formula}}
45 * Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
46 g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
47 <p></p>
48
49 Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
50 {{/formula}}
51 {{/detail}}
52
53 === Teilaufgabe b) ===
54 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
55 [[image:b.png||width="300"]]
56 {{/detail}}
57
58
59 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60 //Aufgabenstellung//
61 <br><p>
62 Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}.
63 </p>
64 //Lösung//
65 <br>
66 Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen:
67 <br>
68
69 [[image:b.png||width="300"]]
70 {{/detail}}
71
72 === Teilaufgabe c) ===
73 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
74 <p>
75 Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
76 </p>
77 {{formula}}
78 \int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
79 = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
80 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
81 {{/formula}}
82 {{/detail}}
83
84
85 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86 //Aufgabenstellung//
87 <br><p>
88 Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt.
89 </p>
90 //Lösung//
91 <br>
92 Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
93 <p></p>
94 Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen:
95 <br>
96 {{formula}}
97 \begin{align*}
98 \int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
99 &= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\
100 &= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\
101 &= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\
102 &=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\
103 &=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9}
104 \end{align*}
105 {{/formula}}
106 <p></p>
107 Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left|\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x \right|=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}.
108 {{/detail}}
109
110 === Teilaufgabe d) ===
111 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
112 {{formula}}
113 \begin{align*}
114 F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
115 &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
116 \end{align*}
117 {{/formula}}
118 {{/detail}}
119
120
121 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
122 //Aufgabenstellung//
123 <br><p>
124 Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
125 </p>
126 //Lösung//
127 <br>
128 Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
129 <br>
130 {{formula}}
131 \begin{align*}
132 F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
133 &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
134 \end{align*}
135 {{/formula}}
136 <br>
137 Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}.
138 {{/detail}}
139
140 === Teilaufgabe e) ===
141 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
142 (1) Die Aussage ist falsch. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;3]{{/formula}} zwei Wendepunkte und somit {{formula}}K_{f}{{/formula}} zwei Extrempunkte.
143 <br>
144 (2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
145 <br>
146 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
147 {{/detail}}
148
149
150 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
151 //Aufgabenstellung//
152 <br><p>
153 Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
154 <br>
155 Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
156 <br>
157 (1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal.
158 <br>
159 (2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}.
160 <br>
161 (3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}.
162 </p>
163 //Lösung//
164 <br>
165 (1) Die Aussage ist falsch. Man sieht, dass {{formula}}K_{F}{{/formula}} im Intervall {{formula}}[-2;3]{{/formula}} zwei Wendepunkte besitzt (bei {{formula}}x\approx 2,4{{/formula}} und {{formula}}x\approx -0,4{{/formula}}). Somit besitzt {{formula}}K_{f}{{/formula}} zwei Extrempunkte.
166 <br>
167 (2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
168 <br>
169 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
170 {{/detail}}
171
172 === Teilaufgabe f) ===
173 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
174 Aussage (1):
175 <br><p>
176 Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2.
177 Wird zuerst an der y-Achse gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0.
178 Es entstehen also unterschiedliche Graphen.
179 </p>
180 Aussage (2):
181 <br>
182
183 {{/detail}}
184
185
186 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
187 //Aufgabenstellung//
188 <br><p>
189 Der Graph der Funktion {{formula}} h {{/formula}} entsteht, indem {{formula}} K_{f} {{/formula}} zuerst um 1 nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt wird.
190 <p></p>
191 Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind:
192 <br>
193 (1) Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle.
194 <br>
195 (2) Es gilt {{formula}} f(1)=0 {{/formula}}. Damit ist {{formula}} h(-2)=0 {{/formula}}.
196 </p>
197 //Lösung//
198 <br>
199 __Aussage (1): __
200 <br>
201 Wir betrachten im folgenden die Nullstelle {{formula}}x=1{{/formula}} von {{formula}}f(x){{/formula}}.
202 <p></p>
203 Zuerst Verschieben, dann Spiegeln:
204 <br>
205 Durch das Verschieben um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle um 1 nach rechts. Das heißt, die Nullstelle wird zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Spiegeln wir anschließend den Graphen an der y-Achse, so wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-2{{/formula}}.
206 <p></p>
207 Zuerst Spiegeln, dann Verschieben:
208 <br>
209 Durch das Spiegeln wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-1{{/formula}}. Verschieben wir anschließend den Graphen um 1 nach rechts, so erhalten wir die Nullstelle {{formula}}x=0{{/formula}}.
210 <p></p>
211 Da die Nullstellen nicht übereinstimmen, spielt die Reihenfolge der beiden Transformationen eine Rolle.
212
213 <p></p>
214 __Aussage (2): __
215 <br>
216 {{/detail}}