Lösung Analysis - Lehrerauswahl II
1.1
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungNenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um \(K_{g}\) handeln kann.
LösungMögliche Argumente:
- Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.
(Die Funktion \(g(x)\) besitzt die doppelten Nullstellen \(x=2\) und \(x=-2\)) - Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
(Die Nullstellen \(x=2\) und \(x=-2\) sind symmetrisch zur y-Achse) - Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
(Die Funktion \(g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=1\cdot x^4+ \dots\) besitzt einen geraden Grad (Grad 4) und einen Leitkoeffizienten \(>0\). Somit gilt \(g(x)\rightarrow \infty\) für \(x\rightarrow \pm \infty\).)
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(a=\frac{1}{8}\)Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Der Graph \( K_{f} \) der Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2 \) geht aus \( K_{g} \) durch Streckung in \( y \)-Richtung mit dem Faktor \( a \) hervor.
Gib den Wert von \( a \) an.
Ausmultiplizieren liefert: \(g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=x^4+ \dots\). Somit ist der Faktor \(a=\frac{1}{8}\).
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
Die beiden doppelten Nullstellen bei \(\pm 2\) liefern die beiden Tiefpunkte von \(K_f\). Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: \( H(0 \mid 2) \).Daraus ergibt sich der Ansatz: \(y = b \cdot x^2 + 2 \)
Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: \(0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2}\)
Damit: \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 2\)Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungBestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von \( K_{f} \) verläuft.
LösungDie beiden doppelten Nullstellen bei \(\pm 2\) liefern die beiden Tiefpunkte von \(K_f\). Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: \( H(0 \mid 2) \).
Damit die Parabel durch die Punkte \((-2|0), (2|0)\) und \((0|2)\) verläuft, muss der Scheitel bei \((0|2)\) liegen, das heißt die (nach unten geöffnete) Parabel ist um 2 in y-Richtung verschoben.
Daraus ergibt sich der Ansatz: \(y = b \cdot x^2 + 2 \)
Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: \(0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2}\)
Damit: \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 2\)Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont
Schnittstellen: \( \frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2=\frac{9}{8}\Leftrightarrow x^{4}-8x^{2}+7=0 \)\( \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 \)
\( \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 \)
Die von den Graphen eingeschlossene Fläche oberhalb der Geraden ist also kleiner als jede der beiden wegen der Achsensymmetrie gleich großen Flächen unterhalb der Geraden. Die Gerade muss also nach unten verschoben werden, damit alle betrachteten Flächen gleich groß sind.
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungDie Gerade mit der Gleichung \( y=\frac{9}{8} \) schließt mit dem Graphen \( K_{f} \) drei Teilflächen ein. Zeige, dass man diese Gerade nach unten verschieben muss, damit die eingeschlossenen Teilflächen alle denselben Flächeninhalt haben.
LösungUm die Schnittstellen zu berechnen, setzen wir \(f(x)\) mit \(y=\frac{9}{8}\) gleich und formen um:
\( \begin{align*} \frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2&=\frac{9}{8} &&\mid \cdot 8\\ \Leftrightarrow x^{4}-8x^{2}+16&=9 &&\mid -9 \\ \Leftrightarrow \ \ x^{4}-8x^{2}+7&=0 \end{align*}\)
Nun setzen \(x^2=z\) und führen die Gleichung so mittels Substition in eine quadratische Gleichung über: \(z^2-8z+7=0\)
Mit der Mitternachtsformel ergibt sich:
\( \begin{align*} z_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}=\frac{8\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{8\pm 6}{2} \\ \Leftrightarrow z_1=\frac{8+6}{2}=7; \quad z_2=\frac{8-6}{2}=1 \end{align*}\)
\( \Leftrightarrow x_{1/2}=\pm\sqrt{7}; \ x_{3/4}=\pm 1 \)
\( \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+\frac{7}{8}\right)\mathrm{d}x \approx 1{,}13 \)
1.2
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Gegeben ist die Funktion \( h \) mit \( h(x)=4\cdot \cos(x)+4 \). Ihr Graph ist \( K_{h} \).
Zeichne \( K_{h} \) im Bereich \( -\pi\le x\le\pi \).
Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird.
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(t(x) = -4x + 2\pi + 4\)\(t'(x) = -4\)
\(h'(x) = -4 \cdot \sin(x)\)
\(h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
Damit ist \(t\) Tangente an \(K_h\) im Punkt \(P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right)\)
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungZeige, dass die Gerade \( t \) mit der Gleichung \( y=-4x+2\pi+4 \) eine Tangente an den Graphen \( K_{h} \) im Punkt \( P(\frac{\pi}{2}|4) \) ist.
LösungDie Tangente muss durch den Punkt \(P\left(\frac{\pi}{2}|4\right)\) gehen und an der Stelle \(x=\frac{\pi}{2}\) die selbe Steigung wie der Graph \(K_h\).
Das heißt, es muss geprüft werden, ob \(h\left(\frac{\pi}{2}\right) = t\left(\frac{\pi}{2}\right)\) und \(h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)\) gilt: \(t(x) = -4x + 2\pi + 4\)
\(t'(x) = -4\)
\(h'(x) = -4 \cdot \sin(x)\)
\(h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
Damit ist \(t\) Tangente an \(K_h\) im Punkt \(P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right)\)
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
Steigung der Tangente im Kurvenpunkt \(P(u \mid h(u))\): \(h'(u) = -4 \cdot \sin(u)\)Damit Tangente in \(P\): \(y = -4\sin(u)\cdot x + b\)
Punktprobe mit \(P(u \mid h(u))\) ergibt den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von \(u\): \(b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4\)
\(b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}\)
\(b(0) = 8;\ \ b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}\)
Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungDie Tangente im Kurvenpunkt \( P(u|h(u)) \), \( 0\le u\le\pi \) schneidet die \( y \)-Achse im Punkt \( S \). Bestimme denjenigen Wert, den die y-Koordinate von \( S \) maximal annehmen kann.
LösungWir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt \(P(u \mid h(u))\) mit dem Ansatz \(y=mx+b\).
Dazu bestimmen wir die Steigung \(m\) im Punkt \(P(u \mid h(u))\):
\(h'(u) = -4 \cdot \sin(u)\)
Damit lautet Tangente in \(P\):
\(y = -4\sin(u)\cdot x + b\)
Punktprobe mit \(P(u \mid h(u))\) ergibt:
\(h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b = 4\cdot \cos(u)+4\)
Nun stellen wir die Gleichung nach \(b\) um und erhalten in Abhängigkeit von \(u\):
\(b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4\) Um nun zu bestimmen, welchen Wert \(b(u)\) maximal annehmen kann, bestimmen wir mögliche Extremstellen der Funktion:
\(b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}\)
Einsetzen der möglichen Extremstellen liefert:
\(b(0) = 8;\ \ b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3\)
Nun prüfen wir noch die obere Grenze \(\pi\) für \(u\): \(b(\pi) =4\cos(\pi)+4+4\sin(\pi) =-4+4+0=0\) Somit ist \(b_{\max}=2\pi + 4 \approx 10{,}3\) Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.
1.3
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm2, d.h. \(A(0) = 81\)Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für \(1, 2, 3 \dots n\) Schnitte mit \(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n\) multipliziert.
Daher \(A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n\).Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungEin Notizzettel hat die Maße \( 9 \times 9\text{ cm} \). Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt \( A \) des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.
Zeige, dass sich der nach \( n \) Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in \( \text{cm}^{2} \) durch die Funktion \( A \) mit \( A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} \) beschreiben lässt.
LösungFlächeninhalt zu Beginn: 81 cm2, d.h. \(A(0) = 81\)
Nach dem ersten mal Halbieren gilt: \(A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}\)
Nach dem zweiten mal Halbieren gilt: \(A(2) = A(1)\cdot \frac{1}{2}=\left(81 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2=A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\)
Nach dem dritten mal Halbieren gilt: \(A(3) = A(2)\cdot \frac{1}{2}=\left(81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 =A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3\)
...
Wir erkennen, dass der Ausgangswert \(A(0)\) somit für \(1, 2, 3 \dots n\) Schnitte mit \(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n\) multipliziert wird. Daher \(A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0{,}01 \ \Leftrightarrow \ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8100}\)liefert
\(n > \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12{,}98\)
Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungBerechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat.
LösungEs soll gelten: \(81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}\)
Umstellen nach \(n\) liefert:
\(\begin{align*} 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\ \Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\ \Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\ \Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\ \Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98 \end{align*}\)
Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden. Beachte: Da \(\log\left(\frac{1}{2}\right)<0\) ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden.