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Hinweis 1
Um zu zeigen, dass das Viereck \(ABCD\) ein Parallelogramm ist, muss geprüft werden, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind.
Hinweis 2
Zeige, dass \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) gilt.
Teilaufgabe b)
Hinweis
Beachte beim Zeichnen, dass die \(x_1\)-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
Teilaufgabe c)
Hinweis 1
Stelle zunächst eine Ebenengleichung der Ebene auf, in der ich das Parallelogramm befindet.
Hinweis 2
Ebene durch \(ABC\):
\(\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}\)Hinweis 3
Den Schnittpunkt mit der \(x_3\)-Achse erhältst du, indem du in der Ebenengleichung \(x_1=x_2=0\) setzt.
Teilaufgabe d)
Hinweis 1
Überlege dir, wie die Richtungsvektoren der beiden Geraden aussehen müssen. Den Winkel zwischen den beiden Geraden berechnest du anschließend mit der Formel aus der Merkhilfe.
Hinweis 2
Da die Gerade \( g \) parallel zur \( x_{3} \)-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \).
Hinweis 3
Da \(h\) senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt.
Hinweis 4
Der Normalenvektor ist gegeben durch \(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\).
Hinweis 5
Den Winkel zwischen den beiden Geraden berechnest du durch \(\cos(\alpha)=\frac{|\vec{u}_1\cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1|\cdot |\vec{u}_2|} \ \Leftrightarrow \ \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{|\vec{u}_1\cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1|\cdot |\vec{u}_2|} \right)\), wobei \(\vec{u}_1\) und \(\vec{u}_2\) die Richtungsvekoren der beiden Geraden sind.
Teilaufgabe e)
Hinweis 1
Begründe, wieso die Seiten \(AB\) und \(CD\) parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene sind und folgere daraus, dass die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme sind.
Hinweis 2
Das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme entspricht dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.
Wieso entspricht dies auch dem Verhältnis, in dem die Seite \(BC\) von \(F\) geteilt wird?
Hinweis 3
Die Teilstrecke vom Eckpunkt \(B\) bis zum Schnittpunkt entspricht \(\frac{1}{3}\) der gesamten Seitenlänge \(BC\).
