Lösung Stochastik
Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/16 18:06
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
\(8500 \cdot 0{,}2 = 1700\)Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungBerechne, wie viele Besucher des Wintersportgebiets an einem Tag erwartungsgemäß Snowboard fahren können.
LösungDer Anteil an Besuchern, die Snowboard fahren können, beträgt 20%(0,02). Bei 8500 Besuchern ergibt sich somit
\(8500 \cdot 0{,}2 = 1700\)
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(S\): Besucher kann Snowboard fahren| \(A\) | \(\overline{A}\) | ||
| \(S\) | \(0{,}08\) | \(0{,}2\) | |
| \(\overline{S}\) | \(0{,}75\) | \(0{,}05\) | \(0{,}8\) |
| \(0{,}83\) | \(1\) |
\(P(A)=0{,}83\) und \(P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75\)
\(P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096\)
Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
\(A\): Ein Besucher kann Ski fahren.
\(B\): Ein Besucher kann Ski, aber kein Snowboard fahren.
\(C\): Ein Besucher, der Ski fahren kann, kann auch Snowboard fahren.
Wir definieren folgendes Ereignis:
\(S\): Besucher kann Snowboard fahren
Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten
- \(P(A)\),
- \(P(B)=P(A\cap \overline{S})\) und
- \(P(C)=P_A(S)\)
Wir wissen, dass 20% der Besucher Snowboard fahren. Das heißt, wir tragen ein:
| \(A\) | \(\overline{A}\) | ||
| \(S\) | \(0{,}2\) | ||
| \(\overline{S}\) | |||
| \(1\) |
Somit ist \(P_S(A)=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}=0{,}4\). Umstellen liefert: \(P(S\cap A)=P_S(A)\cdot P(S)=0{,}4\cdot 0{,}2=0{,}08\).
Zudem können 5% aller Besucher weder Ski noch Snowboard fahren, das heißt \(P(\overline{S}\cap\overline{A})=0{,}05\). Somit:
| \(A\) | \(\overline{A}\) | ||
| \(S\) | \(0{,}08\) | \(0{,}2\) | |
| \(\overline{S}\) | \(0{,}05\) | ||
| \(1\) |
| \(A\) | \(\overline{A}\) | ||
| \(S\) | \(0{,}08\) | \(0{,}2\) | |
| \(\overline{S}\) | \(0{,}75\) | \(0{,}05\) | \(0{,}8\) |
| \(0{,}83\) | \(1\) |
und berechnen \(P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096\)
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
\(\mu-\frac{\sigma}{2}=19{,}75\) und \(\mu+\frac{\sigma}{2}=25{,}25\)\(P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383\)
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungBestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die von einem Skifahrer an einem Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer um nicht mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
LösungWir bestimmen die beiden Intervallgrenzen:
\(\mu-\frac{\sigma}{2}=22{,}5-2{,}75=19{,}75\) und
\(\mu+\frac{\sigma}{2}=22{,}5+2{,}75=25{,}25\) Mit dem WTR berechnen wir mit Normal CD: \(P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383\)
Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont
\(P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35\)Aus Symmetriegründen gilt: \(P(22{,}5\le Y\le22{,}5+a)=0{,}175\)
Mit dem WTR ergibt sich \(a\approx2{,}5\)
Erläuterung der Lösung
Aufgabenstellung
Für ein \( a>0 \) liegen bei 35% aller Skifahrer die pro Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer im Intervall \( [22{,}5-a; \ 22{,}5+a] \).
Ermittle den Wert von \( a \) auf eine Nachkommastelle genau.
Es gilt \(P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35\)
Da das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt, gilt für die rechte Seite der Verteilung:
\(P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a) = \frac{0{,}35}{2} = 0{,}175\)
Weiterhin gilt
\(P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)= P(Y \le 22{,}5+a) - P(Y \le 22{,}5)\)
Somit ist
\(P(Y \le 22{,}5+a)=P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)+P(Y \le 22{,}5)= 0{,}175 +0{,}5 = 0{,}675 \) Mit dem WTR erhalten wir nun über die Inverse Normalverteilung als obere Grenze: \(x_{oben}\approx24{,}996\)
Damit erhalten wir \(a=x_{oben}-22,5\approx 2{,}5\).
Teilaufgabe e)
Erwartungshorizont
Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an. \(P(③)=0{,}6\cdot0{,}7\cdot0{,}4\cdot p+0{,}6\cdot0{,}3\cdot0{,}4 =0{,}168\cdot p+0{,}072\)
\(P(Ⅲ)=0{,}6\cdot0{,}7\cdot(1-p)=0{,}42-0{,}42\cdot p\)
\(P(③)>P(Ⅲ) \Leftrightarrow 0{,}168\cdot p+0{,}072>0{,}42-0{,}42\cdot p \Leftrightarrow p >\frac{29}{49}\approx0{,}592\)
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungBerechne, welchen Wert \( p \) mindestens hat.
LösungFür Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an. Für das Ereignis ③ kommen zwei mögliche Wege in Frage, wenn man die Besucher betrachtet, die genau eine Liftfahrt machen:
Weg 1: \(\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{p}}{\to} \text{Lift Ⅱ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{0{,}4}}{\to} \text{Piste ③}\)
mit der Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Weg 1}) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot p \cdot 0{,}4 = 0{,}168 \cdot p\)
Weg 2: \(\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}3}}{\to} \text{Lift Ⅰ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{1-0{,}6}}{\to} \text{Piste ③}\)
mit der Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Weg 2}) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot (1-0{,}6)= 0{,}072\)
Insgesamt ergibt sich damit \(P(③)=P(\text{Weg 1})+P(\text{Weg 2}) =0{,}168\cdot p+0{,}072\) Für das Ereignis Ⅲ kommt nur ein möglicher Weg in Frage: \(\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{1-p}}{\to} \text{Lift Ⅲ}\)
mit \(P(Ⅲ) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot (1-p) = 0{,}42 \cdot (1-p) = 0{,}42 - 0{,}42p\) Da wir durch die Aufgabenstellung wissen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Besucher über Piste ③ ankommen, höher ist, ergibt sich:
\(\begin{align*} P(③)&>P(Ⅲ) \\ \Leftrightarrow 0{,}168\cdot p+0{,}072&>0{,}42-0{,}42 \cdot p && \mid -0{,}072+0{,}42p \\ \Leftrightarrow 0{,}588p&>0{,}348 &&\mid :0{,}588 \\ \Leftrightarrow \qquad \ p &>\frac{29}{49}\approx0{,}592 \end{align*}\)