Teilaufgabe a)
Hinweis 1
Definiere die Zufallsvariable \(X\): Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen.Wie ist \(X\) verteilt?
Hinweis 2
\(X\) ist binomialverteilt mit \(n=200\) und \(p=0{,}65\).Hinweis 3
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 125 Bewerber bestehen ist gegeben durch \(P(A)=P(X=125)\).Hinweis 4
\(P(B)=P(X\geq 0{,}6\cdot 200)\)Schreibe die Wahrscheinlichkeit um und berechne mit deinem Taschenrechner mit binomialcdf das Ergebnis.
Hinweis 5
\(P(B)=P(X\geq 0{,}6\cdot 200)=P(X\geq 120)=1-P(X\leq 119)\)Teilaufgabe b)
Hinweis 1
Der Erwartungswert ist gegeben durch \(\mu=n\cdot p\).Die Standardabweichung berechnest du durch \(\sigma=\sqrt{n\cdot (1-p)\cdot p }\).
Hinweis 2
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P\left(\mu-\frac{\sigma}{2}\le X \le \mu+\frac{\sigma}{2}\right) \).Hinweis 3
\(P\left(\mu-\frac{\sigma}{2}\le X \le \mu+\frac{\sigma}{2}\right) =P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right)=P(127\le X\le 133)\).Teilaufgabe c)
Hinweis 1
Durch \(1-\dots\) wird die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses berechnet.Hinweis 2
Vergleiche den Term \( \sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} \) mit der Bernoulli-Formel. Überlege, was \(p\) ist.Teilaufgabe d)
Hinweis 1
Es gilt: \(P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65\)Hinweis 2
Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt \(P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)\) und \(P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)\).Hinweis 3
Es folgt insgesamt \(P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65\).In der Aufgabenstellung sind die Wahrscheinlichkeiten \(P_A(D)\) und \(P_{\overline{A}}(D)\) gegeben. Setze sie in die Gleichung um und stelle die Gleichung anschließend nach \(P(A)\) um.