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Wiki-Quellcode von Tipp Stochastik

Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/16 17:59
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Hinweis 1"}}
3 Definiere die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen.
4 <br>
5 Wie ist {{formula}}X{{/formula}} verteilt?
6 {{/detail}}
7
8
9 {{detail summary="Hinweis 2"}}
10 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0{,}65{{/formula}}.
11 {{/detail}}
12
13
14 {{detail summary="Hinweis 3"}}
15 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 125 Bewerber bestehen ist gegeben durch {{formula}}P(A)=P(X=125){{/formula}}.
16 {{/detail}}
17
18
19 {{detail summary="Hinweis 4"}}
20 {{formula}}P(B)=P(X\geq 0{,}6\cdot 200){{/formula}}
21 <br>
22 Schreibe die Wahrscheinlichkeit um und berechne mit deinem Taschenrechner mit binomialcdf das Ergebnis.
23 {{/detail}}
24
25
26 {{detail summary="Hinweis 5"}}
27 {{formula}}P(B)=P(X\geq 0{,}6\cdot 200)=P(X\geq 120)=1-P(X\leq 119){{/formula}}
28 {{/detail}}
29
30 === Teilaufgabe b) ===
31 {{detail summary="Hinweis 1"}}
32 Der Erwartungswert ist gegeben durch
33 {{formula}}
34 \mu=n\cdot p
35 {{/formula}}.
36 <br>
37 Die Standardabweichung berechnest du durch {{formula}}\sigma=\sqrt{n\cdot (1-p)\cdot p }{{/formula}}.
38 {{/detail}}
39
40
41 {{detail summary="Hinweis 2"}}
42 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit
43 {{formula}}
44 P\left(\mu-\frac{\sigma}{2}\le X \le \mu+\frac{\sigma}{2}\right)
45 {{/formula}}.
46 {{/detail}}
47
48
49 {{detail summary="Hinweis 3"}}
50 {{formula}}
51 P\left(\mu-\frac{\sigma}{2}\le X \le \mu+\frac{\sigma}{2}\right) =P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right)=P(127\le X\le 133)
52 {{/formula}}.
53 {{/detail}}
54
55 === Teilaufgabe c) ===
56 {{detail summary="Hinweis 1"}}
57 Durch {{formula}}1-\dots{{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses berechnet.
58 {{/detail}}
59
60
61 {{detail summary="Hinweis 2"}}
62 Vergleiche den Term {{formula}} \sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}} mit der Bernoulli-Formel. Überlege, was {{formula}}p{{/formula}} ist.
63 {{/detail}}
64
65
66 === Teilaufgabe d) ===
67 {{detail summary="Hinweis 1"}}
68 Es gilt:
69 {{formula}}
70 P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
71 {{/formula}}
72 {{/detail}}
73
74
75 {{detail summary="Hinweis 2"}}
76 Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}.
77 {{/detail}}
78
79
80 {{detail summary="Hinweis 3"}}
81 Es folgt insgesamt {{formula}}
82 P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
83 {{/formula}}.
84 <br>
85 In der Aufgabenstellung sind die Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D){{/formula}} gegeben. Setze sie in die Gleichung um und stelle die Gleichung anschließend nach {{formula}}P(A){{/formula}} um.
86 {{/detail}}
87
88 === Teilaufgabe e) ===
89 {{detail summary="Hinweis 1"}}
90 {{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}
91 {{/detail}}
92
93
94 {{detail summary="Hinweis 2"}}
95 {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}}
96 {{/detail}}
97
98
99 {{detail summary="Hinweis 3"}}
100 {{formula}}P(Y=0)= \binom{5}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0}=(1-p)^5{{/formula}}
101 {{/detail}}
102
103
104 {{detail summary="Hinweis 4"}}
105 {{formula}}P(Y=0)=(1-p)^5 &\approx 0{,}859{{/formula}}
106 {{/detail}}