2025 gAN - Teil A - Pflichtaufgaben

Aufgabe 1  Analysis

[5 BE] Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{3}+3x^{2} \), \( x \in \mathbb{R} \).
 \( K \) ist der Graph der Funktion.

Berechne 

• die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunkts von \( K \) und
• die Steigung von \( K \) im Wendepunkt.

Aufgabe 2  Stochastik

In einer Urne befinden sich drei rote und zwei gelbe Kugeln sowie eine blaue Kugel. Aus dieser Urne werden nacheinander zufällig zwei Kugeln gezogen, ohne sie zurückzulegen, und ihre Farben werden jeweils notiert.

1. [3 BE] Stelle die Situation durch ein geeignetes beschriftetes Baumdiagramm dar.
2. [2 BE] Formuliere im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit \( 1-\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}-\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5} \) berechnen lässt.

Aufgabe 3  Lineare Algebra

Die Punkte \( A(5|-\!1|2) \), \( B(9|2|12) \) und \( C(3|-\!2|4) \) sind die Eckpunkte eines Dreiecks \( ABC \). 

1. [2 BE] Weise nach, dass das Dreieck \( ABC \) bei \( C \) einen rechten Winkel besitzt. 

2. [3 BE] Die abgebildete Skizze stellt das Dreieck \( ABC \) dar.
   
   Nun wird ein Punkt \( P \) hinzugefügt, sodass dieser zusammen mit \( A \), \( B \) und \( C \) die Eckpunkte eines Parallelogramms bildet.

   • Übernimm die Skizze auf dein Lösungsblatt und erweitere diese um einen möglichen Punkt \( P \). 
   • Bestimme mögliche Koordinaten des Punktes \( P \) so, dass das Parallelogramm kein Rechteck ist.