Erwartungshorizont
\( f^{\prime}(x)=3x^{2}+6x=3x(x+2)=0 \Leftrightarrow x_{1}=-2 \lor x_{2}=0 \)
\( f^{\prime\prime}(x)=6x+6=0 \Leftrightarrow x_{3}=-1 \) (Nullstelle von \( f^{\prime\prime} \) mit Vorzeichenwechsel)
\(f^{\prime\prime}(-2)=-6 < 0, f(-2)=4 \Rightarrow H(-2|4) \)\(f^{\prime\prime}(0)=6 > 0, f(0)=0 \Rightarrow T(0|0) \)
\( f^{\prime}(-1)=-3 \Rightarrow \) Steigung \( -3 \) im Wendepunkt.
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungBerechne
- die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunkts von \( K \) und
- die Steigung von \( K \) im Wendepunkt.
Um die Koordinaten der Extrempunkte zu berechnen, bilden wir die erste Ableitung der Funktion:
\( f^{\prime}(x)=3x^{2}+6x\)
Nun bestimmen wir durch Ausklammern die Nullstellen der ersten Ableitung:
\(\begin{align*} &0=3x^{2}+6x \\ \Leftrightarrow \ &0 = 3x(x+2) \\ \Leftrightarrow \ &x_{1}=-2 \lor x_{2}=0 \end{align*}\)
Jetzt bilden wir die zweite Ableitung der Funktion und setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in diese ein:
\( f^{\prime\prime}(x)=6x+6\)
\(f^{\prime\prime}(-2)=6\cdot (-2)+6= -6 < 0, \ f(-2)=4 \Rightarrow \ \text{Hochpunkt} \ H(-2|4) \)
\(f^{\prime\prime}(0)=6\cdot 0+6=6 > 0, \ f(0)=0 \Rightarrow \ \text{Tiefpunkt} \ T(0|0) \)
Nun bestimmen wir die Wendestelle und anschließend die Steigung im Wendepunkt. Dazu bestimmen wir die Nullstelle der zweiten Ableitung und setzen diese anschließend in die erste Ableitung ein:
\(\begin{align*}
&0=6x+6 &&\mid -6 \\
\Leftrightarrow \ &-6=6x &&\mid :6 \\
\Leftrightarrow \ &x_3=-1
\end{align*}\)
\( f^{\prime}(-1)=3\cdot (-1)^2+6\cdot (-1)=-3 \Rightarrow \) Steigung \( -3 \) im Wendepunkt.