Aufgabe 1 Stochastik 4_1 𝕋 𝕃
Bei einem Glücksspiel wird ein Pfeil auf die in Abbildung 1 dargestellte Scheibe geworfen. Es wird angenommen, dass jeder Pfeil die Scheibe trifft. Die Skalierung gibt den Radius der einzelnen Kreise (in Längeneinheiten) an. 
Man trifft die unterschiedlich gefärbten Bereiche auf der Scheibe mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten:
| rot | blau | grün |
| \( \frac{1}{16} \) | \( \frac{3}{16} \) | \( \frac{12}{16} \) |
[2 BE] Für das Glücksspiel gelten folgende Regeln:
- Ein Spieler bezahlt einen Einsatz von \( a \) Euro.
- Je nach getroffener Farbe erhält der Spieler folgende Auszahlung:
Getroffene Farbe Auszahlung rot 6 Euro blau 2 Euro grün 1 Euro Berechne den maximalen Einsatz \( a \), sodass der Spieler auf lange Sicht keinen Verlust macht.
- [3 BE]
Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius \( r \) beträgt \( \pi \cdot r^{2} \). Zeige, dass die oben gegebenen Wahrscheinlichkeiten dem Flächenanteil des jeweiligen Bereichs an der gesamten Kreisfläche entsprechen.
| Bewertungseinheiten gesamt 5 |
| Aufgabe | BE | Allgemeine mathematische Kompetenzen | Anforderungsbereich | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| K1 | K2 | K3 | K4 | K5 | K6 | I | II | III | ||
| a | 2 | 2 | ||||||||
| b | 3 | 3 | ||||||||
Aufgabe 2 Lineare Algebra 4_2 𝕋 𝕃
Gegeben sind die Punkte \( A(4 | 2 | -\!3) \), \( B(3|0|-\!1) \) und die Gerade \( g \), wobei \( g:\vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\0\\-1\end{matrix}\right) +r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} , \ r\in \mathbb{R} \).
- [3 BE] Zeige, dass der Abstand vom Punkt \( A \) zur Geraden \( g \) der Länge des Vektors \( \overrightarrow{AB} \) entspricht.
- [2 BE] Ermittle die Koordinaten eines weiteren Punktes \( C \), der den gleichen Abstand zur Geraden \( g \) hat wie der Punkt \( A \).
| Aufgabe | BE | Allgemeine mathematische Kompetenzen | Anforderungsbereich | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| K1 | K2 | K3 | K4 | K5 | K6 | I | II | III | ||
| a | 3 | 1 | 2 | |||||||
| b | 2 | 1 | 1 | |||||||
Aufgabe 0 Stochastik 5_1 𝕋 𝕃
Ein Kartenspiel hat einen Kartensatz mit 32 Karten: In jeder der vier Farben Kreuz (♣), Pik (♠), Herz (♥) und Karo (♦) gibt es jeweils ein Ass, einen König, eine Dame, einen Buben, eine 10, eine 9, eine 8 und eine 7. Es wird eine Karte gezogen.
- [2 BE] Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:
Die gezogene Karte zeigt Karo oder ist eine Dame.
Ein anderes Spiel hat einen Kartensatz, der nur aus 4 Assen und \( n \) Jokern besteht. Es wird zweimal ohne Zurücklegen eine Karte gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, zwei Asse zu ziehen, beträgt \( \frac{2}{5} \).
- [3 BE] Zeige, dass die Berechnung der Anzahl der Joker auf folgende Gleichung führt:
\( 2n^{2}+14n+24=60 \).
| Bewertungseinheiten gesamt 5 |
| Aufgabe | BE | Allgemeine mathematische Kompetenzen | Anforderungsbereich | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| K1 | K2 | K3 | K4 | K5 | K6 | I | II | III | ||
| a | 2 | 1 | 1 | |||||||
| b | 3 | 3 | ||||||||
Aufgabe 0 Analysis Problemlöseaufgabe 𝕋 𝕃
Bearbeite die folgende Aufgabe unter Berücksichtigung der einzelnen Problemlöseschritte. Dokumentiere und reflektiere deine Vorgehensweise.
[10 BE] Gegeben sind folgende drei Eigenschaften, die eine Funktion \(f\) bzw. deren Graph haben kann:
- \( f \) ist eine Polynomfunktion.
- Der Graph von \( f \) ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Der Graph von \(f\) besitzt mindestens einen Hochpunkt.
Bestimme jeweils einen passenden Funktionsterm, so dass die Funktion \( f \)...
a. ... nur genau eine der drei Eigenschaften erfüllt.
b. ... genau zwei der drei Eigenschaften erfüllt.
c. ... alle drei Eigenschaften erfüllt.
| Bewertungseinheiten gesamt 10 |
| Bewertungseinheiten gesamt 5 |