Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
\(B\) liegt auf \(g\).
\(\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}\)
Es gilt: \(\overrightarrow{AB} \cdot \begin{pmatrix} -2\\4\\3\end{pmatrix}= 0\)
Somit ist \(\overrightarrow{AB}\) senkrecht zu \(g\) und damit entspricht \(\Bigl| \overrightarrow{AB} \Bigr|\) dem Abstand von \(A\) zu \(g\).Erläuterung der Lösung
\(B\) liegt auf \(g\), da der Stützvektor der Geraden dem Ortsvektor von Punkt \(B\) entspricht.
\(\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}3-4\\0-2\\-1-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}\)
Es gilt: \(\overrightarrow{AB} \cdot \begin{pmatrix} -2\\4\\3\end{pmatrix}=(-1)\cdot (-2)+(-2)\cdot 4+2\cdot 3=2-8+6=0\)
Da das Skalarprodukt von \(\overrightarrow{AB}\) und des Richtungsvektors der Geraden \(g\) null ist, ist \(\overrightarrow{AB}\) senkrecht zu \(g\). Damit entspricht \(\Bigl| \overrightarrow{AB} \Bigr|\) dem Abstand von \(A\) zu \(g\).Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
Mögliche Lösung:
\(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix},\) damit \(\ C(2 \mid -2 \mid 1)\)Erläuterung der Lösung
Einen weiteren Punkt \(C\) erhalten wir, indem wir Punkt \(A\) am Punkt \(B\) spiegeln durch:\(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + 2\cdot \overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}4\\2\\-3\end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix},\) damit \(\ C(2 \mid -2 \mid 1)\)
oder alternativ:
\(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix},\)