Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik 4_1

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/04 19:43

version	line-number	content
1.1	1	=== Teilaufgabe a) ===
	2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	3	Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}}: Auszahlung für den Spieler in Euro
	4	(% class="border" style="width:30%" %)
	5	\|{{formula}}x_i{{/formula}}\|6\|2\|1
	6	\|{{formula}}P(X = x_i){{/formula}}\|{{formula}}\frac{1}{16}{{/formula}}\|{{formula}}\frac{3}{16}{{/formula}}\|{{formula}}\frac{3}{4}{{/formula}}
	7
	8
	9	{{formula}}
	10	E(X) = \frac{1}{16}\cdot 6 + \frac{3}{16}\cdot 2 + \frac{3}{4}\cdot 1 = \frac{3}{2}
	11	{{/formula}}
	12	<br>
	13	Der Einsatz {{formula}}a{{/formula}} darf höchstens 1,50 € betragen, damit der Spieler auf lange Sicht keinen Verlust macht.
	14	{{/detail}}
	15
	16
	17	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
2.1	18	Wir definieren die Zufallsvariable {{formula}}X{{/formula}}: Auszahlung für den Spieler in Euro
	19	(% class="border" style="width:30%" %)
	20	\|{{formula}}x_i{{/formula}}\|6\|2\|1
	21	\|{{formula}}P(X = x_i){{/formula}}\|{{formula}}\frac{1}{16}{{/formula}}\|{{formula}}\frac{3}{16}{{/formula}}\|{{formula}}\frac{3}{4}{{/formula}}
	22
	23	<p> Ein Spieler macht auf lange Sicht keinen Verlust, wenn der Einsatz {{formula}}a{{/formula}} höchstens dem Erwartungswert entspricht.
	24	</p>
	25	Der Erwartungswert ergibt sich durch
	26	<br>
	27	{{formula}}
	28	\begin{align*}
3.1	29	E(X) &= P(X=x_1)\cdot x_1+ P(X=x_2)\cdot x_2+P(X=x_3)\cdot x_3 \\
2.1	30	&=\frac{1}{16}\cdot 6 + \frac{3}{16}\cdot 2 + \frac{3}{4}\cdot 1 \\
	31	&= \frac{3}{2}=1{,}5
	32	\end{align*}
	33	{{/formula}}
	34	<br>
	35	Der Einsatz {{formula}}a{{/formula}} darf somit höchstens 1,50 € betragen, damit der Spieler auf lange Sicht keinen Verlust macht.
1.1	36	{{/detail}}
	37
	38	=== Teilaufgabe b) ===
	39	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	40	Flächeninhalt des gesamten Kreises:
	41	{{formula}}
	42	A_{\text{gesamt}} = 16\pi
	43	{{/formula}}
	44	<br>
	45	Flächeninhalt des roten Kreises:
	46	{{formula}}
	47	A_{\text{rot}} = \pi
	48	{{/formula}}
	49	<br>
	50	Flächeninhalt des blauen Kreisrings:
	51	{{formula}}
	52	A_{\text{blau}} = 4\pi - \pi = 3\pi
	53	{{/formula}}
	54	<br><p>
	55	Flächeninhalt des grünen Kreisrings:
	56	{{formula}}
	57	A_{\text{grün}} = 16\pi - 4\pi = 12\pi
	58	{{/formula}}
	59	</p><p>
	60	Anteil des roten Kreises {{formula}}
	61	=\frac{\pi}{16\pi} = \frac{1}{16} = P(\text{rot})
	62	{{/formula}}
	63	</p><p>
	64	Anteil des blauen Kreisrings {{formula}}
	65	=\frac{3\pi}{16\pi} = \frac{3}{16} = P(\text{blau})
	66	{{/formula}}
	67	</p>
	68	Anteil des grünen Kreisrings {{formula}}=\frac{12\pi}{16\pi} = \frac{3}{4} = P(\text{grün})
	69	{{/formula}}
	70	{{/detail}}
	71
	72
	73	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
3.1	74	Die Radien der einzelnen Kreise lassen sich aus der Skizze ablesen. Es ergeben sich damit folgende Flächeninhalte:
	75	* Flächeninhalt des gesamten Kreises ({{formula}}r_{gesamt}=4{{/formula}}):
	76	{{formula}}
	77	A_{\text{gesamt}} = \pi \cdot r^2 =\pi\cdot 4^2= 16\pi
	78	{{/formula}}
	79	* Flächeninhalt des roten Kreises ({{formula}}r=1{{/formula}}):
	80	{{formula}}
	81	A_{\text{rot}} = \pi \cdot 1^2=\pi
	82	{{/formula}}
	83	* Flächeninhalt des blauen Kreisrings (Ring von {{formula}}r=1{{/formula}} bis {{formula}}r=2{{/formula}}):
	84	{{formula}}
	85	A_{\text{blau}} =\pi \cdot 2^2-\pi \cdot 1^2=4\pi - \pi = 3\pi
	86	{{/formula}}
	87	* Flächeninhalt des grünen Kreisrings (Ring von {{formula}}r=2{{/formula}} bis {{formula}}r=4{{/formula}}):
	88	{{formula}}
	89	A_{\text{grün}} =\pi \cdot 4^2-\pi \cdot 2^2= 16\pi - 4\pi = 12\pi
	90	{{/formula}}
	91
	92	</p><p>
4.1	93	Nun berechnen wir den Flächenanteil des jeweiligen Bereichs an der gesamten Kreisfläche:
	94	<br>
3.1	95	Anteil des roten Kreises {{formula}}
	96	=\frac{\pi}{16\pi} = \frac{1}{16} = P(\text{rot})
	97	{{/formula}}
	98	</p><p>
	99	Anteil des blauen Kreisrings {{formula}}
	100	=\frac{3\pi}{16\pi} = \frac{3}{16} = P(\text{blau})
	101	{{/formula}}
	102	</p>
	103	Anteil des grünen Kreisrings {{formula}}=\frac{12\pi}{16\pi} = \frac{3}{4} = P(\text{grün})
	104	{{/formula}}
1.1	105	{{/detail}}