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Lösung Stochastik 4_1

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/04 19:43

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont Zufallsvariable \(X\): Auszahlung für den Spieler in Euro
\(x_i\)621
\(P(X = x_i)\)\(\frac{1}{16}\)\(\frac{3}{16}\)\(\frac{3}{4}\)
\(E(X) = \frac{1}{16}\cdot 6 + \frac{3}{16}\cdot 2 + \frac{3}{4}\cdot 1 = \frac{3}{2}\)
Der Einsatz \(a\) darf höchstens 1,50 € betragen, damit der Spieler auf lange Sicht keinen Verlust macht.
Erläuterung der Lösung Wir definieren die Zufallsvariable \(X\): Auszahlung für den Spieler in Euro
\(x_i\)621
\(P(X = x_i)\)\(\frac{1}{16}\)\(\frac{3}{16}\)\(\frac{3}{4}\)

Ein Spieler macht auf lange Sicht keinen Verlust, wenn der Einsatz \(a\) höchstens dem Erwartungswert entspricht.

Der Erwartungswert ergibt sich durch
\(\begin{align*} E(X) &= P(X=x_1)\cdot x_1+ P(X=x_2)\cdot x_2+P(X=x_3)\cdot x_3 \\ &=\frac{1}{16}\cdot 6 + \frac{3}{16}\cdot 2 + \frac{3}{4}\cdot 1 \\ &= \frac{3}{2}=1{,}5 \end{align*}\)
Der Einsatz \(a\) darf somit höchstens 1,50 € betragen, damit der Spieler auf lange Sicht keinen Verlust macht.

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont Flächeninhalt des gesamten Kreises: \(A_{\text{gesamt}} = 16\pi\)
Flächeninhalt des roten Kreises: \(A_{\text{rot}} = \pi\)
Flächeninhalt des blauen Kreisrings: \(A_{\text{blau}} = 4\pi - \pi = 3\pi\)

Flächeninhalt des grünen Kreisrings: \(A_{\text{grün}} = 16\pi - 4\pi = 12\pi\)

Anteil des roten Kreises \(=\frac{\pi}{16\pi} = \frac{1}{16} = P(\text{rot})\)

Anteil des blauen Kreisrings \(=\frac{3\pi}{16\pi} = \frac{3}{16} = P(\text{blau})\)

Anteil des grünen Kreisrings \(=\frac{12\pi}{16\pi} = \frac{3}{4} = P(\text{grün})\)
Erläuterung der Lösung Die Radien der einzelnen Kreise lassen sich aus der Skizze ablesen. Es ergeben sich damit folgende Flächeninhalte:
  • Flächeninhalt des gesamten Kreises (\(r_{gesamt}=4\)): \(A_{\text{gesamt}} = \pi \cdot r^2 =\pi\cdot 4^2= 16\pi\)
  • Flächeninhalt des roten Kreises (\(r=1\)): \(A_{\text{rot}} = \pi \cdot 1^2=\pi\)
  • Flächeninhalt des blauen Kreisrings (Ring von \(r=1\) bis \(r=2\)): \(A_{\text{blau}} =\pi \cdot 2^2-\pi \cdot 1^2=4\pi - \pi = 3\pi\)
  • Flächeninhalt des grünen Kreisrings (Ring von \(r=2\) bis \(r=4\)): \(A_{\text{grün}} =\pi \cdot 4^2-\pi \cdot 2^2= 16\pi - 4\pi = 12\pi\)

Nun berechnen wir den Flächenanteil des jeweiligen Bereichs an der gesamten Kreisfläche:
Anteil des roten Kreises \(=\frac{\pi}{16\pi} = \frac{1}{16} = P(\text{rot})\)

Anteil des blauen Kreisrings \(=\frac{3\pi}{16\pi} = \frac{3}{16} = P(\text{blau})\)

Anteil des grünen Kreisrings \(=\frac{12\pi}{16\pi} = \frac{3}{4} = P(\text{grün})\)