Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Erläuterung der Lösung
Beachte beim Zeichne, dass die \(x_1\)-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(\overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \ \overrightarrow{EH} =\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}, \ \overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH},\) also sind \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{EH}\) parallel.Damit ist das Viereck \(ADHE\) ein Trapez.
Erläuterung der Lösung
Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten \(AD\) und \(EH\) parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{EH}\) Vielfache von einander sind:
\(\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{EH}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\)
Da \(\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH}\) gilt, sind die beiden Vektoren Vielfache von einander und somit parallel.
Damit ist das Viereck \(ADHE\) ein Trapez.
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
\(\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; \) orthogonale Projektion von \(\overrightarrow{BF}\) auf die x1x2-Ebene: \(\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \)
\(\cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{ \Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|} \ \Rightarrow \alpha \approx 79{,}98^\circ\)Die Behauptung ist falsch.
Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont
Die Stäbe verbinden die Punkte \(B\) und \(H\) bzw. \(C\) und \(E\). Es soll überprüft werden, ob sich die Stäbe kreuzen.Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe e)
Erwartungshorizont
Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt \((2 \mid 2 \mid 0)\) mit Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Die Koordinaten des gesuchten Punktes \(P\) haben also die Form \(P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 4\).
\(\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| = \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \ \Leftrightarrow \ \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} \ \Leftrightarrow \ t = \frac{29}{8}\)Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt \(\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right)\) befestigt werden.