Lösung Lineare Algebra
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/02 19:53
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(\overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \ \overrightarrow{EH} =\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}, \ \overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH},\) also sind \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{EH}\) parallel.Damit ist das Viereck \(ADHE\) ein Trapez.
Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
\(\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; \) orthogonale Projektion von \(\overrightarrow{BF}\) auf die x1x2-Ebene: \(\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \)
\(\cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{ \Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|} \ \Rightarrow \alpha \approx 79{,}98^\circ\)Die Behauptung ist falsch.
Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont
Die Stäbe verbinden die Punkte \(B\) und \(H\) bzw. \(C\) und \(E\). Es soll überprüft werden, ob sich die Stäbe kreuzen.Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe e)
Erwartungshorizont
Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt \((2 \mid 2 \mid 0)\) mit Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Die Koordinaten des gesuchten Punktes \(P\) haben also die Form \(P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 4\).
\(\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| = \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \ \Leftrightarrow \ \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} \ \Leftrightarrow \ t = \frac{29}{8}\)Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt \(\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right)\) befestigt werden.