Folgende Größen lassen sich direkt ablesen:
Scheitelform: Scheitelpunkt \(S(x_S|y_S)\)
Hauptform: y-Achsenabschnitt \(c\)
Produktform: Nullstellen \(x_1,x_2\)
Gestrecke Normalform: Streckfaktor \(a\)Siehe Tabelle in Teilaufgabe c).
Es lassen sich beispielsweise folgende Zusammenhänge erkennen:
- Die Zeilen 1 und 2 sind invers zu einander, das heißt, wenn man die Gleichungen in Zeile 1 nach \(x_S\) und \(y_S\) umstellt, so erhält man die Gleichungen in Zeile 2 und andersrum genauso.
- Die Zeilen 4 und 5 sind invers zu einander
- Setzt man die Gleichungen aus Zeile 2 in die Gleichungen in Zeile 3 ein, so erhält man die Gleichungen in Zeile 4
Formeln anwenden. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
Nr. Gestreckte Normalform Scheitelform Produktform 1 \(y = x^2 - 4x + 3\) \(y=(x-2)^2-1\) \(y=(x-1)(x-3)\) 2 \(y=x^2-2x+5\) \(y = (x - 1)^2 + 4\) ↯ 3 \(y=x^2+4x+4\) \(y=(x+2)^2\) \(y = (x + 2)(x + 2)=(x + 2)^2\) 4 \(y = -(x^2 - 4x + 1)\) \(y=-(x-2)^2+3\) \(y=-(x-(2+\sqrt{3})(x-(2-\sqrt{3}))\) 5 \(y=-\pi(x^2-2\pi x+\pi^2)\) \(y = -\pi(x - \pi)^2\) \(y=-\pi(x-\pi)^2\) 6 \(y=-(x^2+2x+5)\) \(y=-(x+1)^2+2\) \(y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2})\) 7 \(y = 2(x^2 + 2x + 5)\) \(y=2(x+1)^2+8\) ↯ 8 \(y=-\frac{3}{2}(x^2-4x+4)\) \(y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2\) \(y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2\) 9 \(y=\sqrt{2}(x^2-5x+6)\) \(y = \sqrt{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{\sqrt{2}}{4}\) \(y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3)\) Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform):
Umformen der Scheitelform ergibt:
\(\begin{align*} y&=a(x-x_S)^2+y_S \quad \mid \text{2. binomische Formel}\\ &= a(x^2-2x_Sx+x_S^2)+y_S \\ &=a(x^2-2x_Sx+x_S^2+\frac{y_S}{a}) \end{align*}\)Koeffizientenvergleich mit \(y=a(x^2+px+q)\) liefert \(p=-2x_S\) und \(q=x_S^2+\frac{y_S}{a}=x_S^2+y_S^*\)
Zeile 2 (Gestreckte Normalform zur Scheitelform):
Umstellen von \(p=-2x_S\) nach \(x_S\) führt zu \(x_S=-\frac{p}{2}\)
Umstellen von \(q=x_S^2+y_S^*\) nach \(y_S\) führt zu \(y_S=-\frac{p^2}{4}+q\)Alternativ kommt man mit quadratischer Ergänzung von der gestreckten Normalform zur Scheitelform und kann Zeile 2 so begründen.
Zeile 3 (Scheitelform zur Produktform):
Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir die Nullstellen der Scheitelform:
\(\begin{align*} a(x-x_S)^2+y_S&=0 \\ \Leftrightarrow a\left((x-x_S)^2+\frac{y_S}{a}\right)&=0 \\ \Leftrightarrow (x-x_S)^2+y_S^*&=0 \\ \Leftrightarrow (x-x_S)^2&=-y_S^* \\ \end{align*}\)Durch Wurzelziehen erhalten wir:
\(\begin{align*} x-x_S&=\pm \sqrt{-y_S^*} \quad \mid +x_S\\ \Leftrightarrow x_{1,2}&=x_S\pm \sqrt{-y_S^*} \end{align*}\)Zeile 4 (Gestreckte Normalform zur Produktform):
Zeile 5 (Produktform zur gestreckten Normalform):
Ausmultiplizieren führt zu
\(\begin{align*} y&=a(x-x_1)(x-x_2) \\ &=a (x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2) \\ &=a(x^2+x(-x_2-x_1)+x_1x_2) \end{align*}\)Koeffizientenvergleich liefert \(p=(-x_2-x_1)\) und \(q=x_1x_2\).
Zeile 6 (Produktform zur Scheitelform):
Die Nullstellen \(x_1, x_2\) sind direkt aus der Produkform ablesbar.
Wir wissen, dass der Scheitelpunkt der Parabel in der Mitte der beiden Nullstellen liegen muss. Das heißt der x-Wert des Scheitelpunktes ist gegeben durch \(x_S=\frac{x_1+x_2}{2}\).
Um nun den zugehörigen y-Wert des Scheitelpunktes zu erhalten, setzen wir \(x_S\) in die Gleichung der Produktform ein:
\(y_S=a(x_S-x_1)(x_S-x_2)=a\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)\left(-\frac{x_2-x_1}{2}\right)=a\cdot \left(-\frac{(x_2-x_1)^2}{4}\right)\)
Somit ist \(y_S^*=\frac{y_S}{a}= -\frac{(x_2-x_1)^2}{4}\).